Ce tipuri de integrali sunt acolo?
Tipurile de integrale pe care le găsim în calcul sunt: Integrals nedefinite și Integrals definite. Deși integralele definite au mai multe aplicații decât integralele nedefinite, este necesar mai întâi să învățăm să rezolvăm integralele nedefinite.
Una dintre cele mai atractive aplicații ale integralelor definite este calculul volumului unui solid de revoluție.
Ambele tipuri de integrale au aceleași proprietăți de liniaritate, iar tehnicile de integrare nu depind de tipul integrat.
Dar, în ciuda faptului că sunt foarte asemănătoare, există o diferență majoră; în primul tip integrat rezultatul este o funcție (care nu este specifică), în timp ce în al doilea tip rezultatul este un număr.
Două tipuri de integrare
Lumea integralelor este foarte largă, dar în cadrul acesteia putem distinge două tipuri de integrale de bază, care au o mare aplicabilitate în viața de zi cu zi.
1 - Integrali indefinite
Dacă F '(x) = f (x) pentru toate x în domeniul lui f, spunem că F (x) este un antiderivativ, primitiv sau integral al f (x).
Pe de altă parte, observați că F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ceea ce înseamnă că integrarea unei funcții nu este unică. te antiderivatives.
Din acest motiv F (x) + C este numit Integrala indefinita a f (x) si C se numeste constanta de integrare si o scriem in felul urmator
După cum se poate observa, integralul indefinit al funcției f (x) este o familie de funcții.
De exemplu, dacă doriți să calculați integralul indefinit al funcției f (x) = 3x², trebuie mai întâi să găsiți un antiderivativ de f (x).
Este ușor de observat că F (x) = x 3 este un antiderivativ, deoarece F '(x) = 3x². Prin urmare, se poate concluziona că
∫f (x) dx = ∫3x2dx = x3 + C.
2- Integrate definite
Fie y = f (x) o funcție reală, continuă într-un interval închis [a, b] și permiteți F (x) să fie un antiderivativ al f (x). Se numește integralul f (x) dintre limitele a și b și numărul F (b) -F (a) și este notat după cum urmează
Formula prezentată mai sus este mai bine cunoscută sub numele de "Teoria fundamentală a calculului". Aici "a" se numește limita inferioară, iar "b" se numește limita superioară. După cum puteți vedea, integrarea definită a unei funcții este un număr.
În acest caz, dacă se calculează integralul f (x) = 3x² în intervalul [0, 3], se va obține un număr.
Pentru a determina acest număr, alegem F (x) = x 3 ca antiderivativă a lui f (x) = 3x². Apoi, calculăm F (3) -F (0) care ne dă rezultatul 27-0 = 27. În concluzie, integrarea definitivă a f (x) în intervalul [0.3] este 27.
Se poate sublinia faptul că dacă G (x) = x 3 + 3 este ales, atunci G (x) este un antiderivativ al f (x) altul decât F (x), dar acest lucru nu afectează rezultatul deoarece G (3) 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Din acest motiv, în integralele definite, constanta de integrare nu apare.
Una dintre cele mai utile aplicații pe care acest tip de integrale o are este aceea de a permite calcularea ariei (volumului) unei figuri plane (a unui solid de rotație), stabilirea unor funcții adecvate și limite de integrare (și o axă de rotație).
În cadrul integrațelor definite putem găsi diferite extensii ale acestora, cum ar fi integrale de linii, integrale de suprafață, integrale necorespunzătoare, integrale multiple, printre altele, toate cu aplicații foarte utile în știință și inginerie.
