Istoricul istoric al geometriei analitice

Istoricul istoric al geometriei analitice datează din secolul al XVII-lea, când Pierre de Fermat și René Descartes și-au definit ideea fundamentală. Invenția sa a urmat modernizării algebrei și a notării algebrice a lui François Viète.

Acest domeniu își are bazele în Grecia Antică, în special în lucrările lui Apollonius și Euclid, care au avut o mare influență în acest domeniu al matematicii.

Ideea esențială din spatele geometriei analitice este aceea că o relație între două variabile, astfel încât una este o funcție a celuilalt, definește o curbă.

Această idee a fost dezvoltată pentru prima dată de Pierre de Fermat. Datorită acestui cadru esențial, Isaac Newton și Gottfried Leibniz au reușit să dezvolte calculul.

Filosoful francez Descartes a descoperit și o abordare algebrică a geometriei, aparent pe cont propriu. Lucrarea lui Descartes despre geometrie apare în faimoasa sa carte Discurs privind metoda .

În această carte se subliniază că compasul și construcțiile geometrice ale marginilor drepte implică adunarea, scăderea, înmulțirea și rădăcinile pătrate.

Geometria analitică reprezintă unirea a două tradiții importante în matematică: geometria ca studiul formei și aritmetica și algebra, care au legătură cu cantitatea sau numerele. Prin urmare, geometria analitică este studiul câmpului de geometrie folosind sistemele de coordonate.

istorie

Contextul geometriei analitice

Relația dintre geometrie și algebră a evoluat de-a lungul istoriei matematicii, deși geometria a ajuns la un anumit grad de maturitate mai devreme.

De exemplu, matematicianul grec Euclid a reușit să organizeze multe rezultate în cartea sa clasică " Elementele" .

Dar Apollonius din Perga antic grec a prezis dezvoltarea geometriei analitice în cartea Conics . El a definit un conic ca intersecția dintre un con și un avion.

Folosind rezultatele lui Euclid în triunghiuri similare și uscarea cercului, el a găsit o relație dată de distanțele din orice punct "P" al unui conic la două linii perpendiculare, axa principală a unui conic și tangenta la un punct final al axei. Apollonius a folosit această relație pentru a deduce proprietățile fundamentale ale conicilor.

Dezvoltarea ulterioară a sistemelor de coordonate în matematică a apărut numai după ce algebra sa maturizat mulțumită matematicienilor islamici și indieni.

Până când geometria Renașterii a fost folosită pentru a justifica soluții pentru problemele algebrice, dar nu a existat prea multe algebre care să contribuie la geometrie.

Această situație s-ar schimba odată cu adoptarea unei notații convenabile pentru relațiile algebrice și dezvoltarea conceptului de funcție matematică, care a fost acum posibilă.

Secolul XVI

La sfârșitul secolului al XVI-lea, matematicianul francez François Viète a introdus prima notație sistematică algebrică, folosind litere pentru a reprezenta cantități numerice, atât cunoscute, cât și necunoscute.

El a dezvoltat, de asemenea, metode generale puternice de exprimare a expresiilor algebrice și de rezolvare a ecuațiilor algebrice.

Datorită acestui fapt, matematicienii nu erau complet dependenți de figurile geometrice și de intuiția geometrică pentru rezolvarea problemelor.

Chiar și unii matematicieni au început să abandoneze modul geometric standard de gândire, conform căruia variabilele liniare ale lungimilor și pătratelor corespund domeniilor, în timp ce cubul corespunde volumelor.

Primii care au făcut acest pas au fost filosoful și matematicianul René Descartes, avocatul și matematicianul Pierre de Fermat.

Fundamentul geometriei analitice

Descartes și Fermat au fondat independent geometria analitică în anii 1630, adoptând algebra Viète pentru studiul locusului.

Acești matematicieni au realizat că algebra a fost un instrument de mare putere în geometrie și a inventat ceea ce este acum cunoscut ca geometrie analitică.

Un avans pe care l-au făcut a fost să depășească Viète folosind litere pentru a reprezenta distanțele care sunt variabile în loc de fix.

Descartes a folosit ecuații pentru a studia curbele definite geometric și a subliniat necesitatea de a lua în considerare curbele generale algebrice-grafice ale ecuațiilor polinomiale în gradele "x" și "y".

La randul sau, Fermat a subliniat ca orice relatie dintre coordonatele "x" si "si" determina o curba.

Folosind aceste idei, el a restructurat afirmațiile lui Apollonius cu privire la termenii algebrici și a restaurat unele dintre lucrările sale pierdute.

Fermat a indicat că orice ecuație patratică din "x" și "y" poate fi plasată în forma standard a uneia dintre secțiunile conice. În ciuda acestui fapt, Fermat nu și-a publicat niciodată lucrarea pe această temă.

Datorită progreselor sale, ceea ce Arhimede putea rezolva cu mare dificultate, iar pentru cazuri izolate, Fermat și Descartes ar putea rezolva rapid și pentru un număr mare de curbe (acum cunoscute ca curbe algebrice).

Dar ideile sale au câștigat doar o acceptare generală prin eforturile altor matematicieni din a doua jumătate a secolului al XVII-lea.

Matematicienii Frans van Schooten, Florimond de Beaune și Johan de Witt au contribuit la extinderea activității lui Decartes și au adăugat materiale suplimentare importante.

influență

În Anglia, John Wallis a popularizat geometria analitică. El a folosit ecuații pentru a defini conicul și pentru a-și dedica proprietățile. Deși folosea coordonatele negative liber, Isaac Newton a folosit două axe oblice pentru a diviza avionul în patru cadrane.

Newton și germanul Gottfried Leibniz au revoluționat matematica la sfârșitul secolului al șaptesprezecelea prin demonstrarea independentă a puterii de calcul.

Newton a demonstrat importanța metodelor analitice în geometrie și rolul său în calcul, atunci când a afirmat că orice cub (sau o curbă algebrică de gradul al treilea) are trei sau patru ecuații standard pentru axele de coordonate adecvate. Cu ajutorul lui Newton însuși, matematicianul scoțian, John Stirling, la testat în 1717.

Geometria analitică a trei și mai multe dimensiuni

Deși atât Descartes, cât și Fermat au sugerat folosirea a trei coordonate pentru a studia curbele și suprafețele în spațiu, geometria analitică tridimensională sa dezvoltat încet până în 1730.

Matematicienii Euler, Hermann și Clairaut au produs ecuații generale pentru cilindri, conuri și suprafețe de revoluție.

De exemplu, Euler a folosit ecuații pentru traducerile în spațiu pentru a transforma suprafața cadrului general, astfel încât axele sale principale să coincidă cu axele de coordonate.

Euler, Joseph-Louis Lagrange și Gaspard Monge au făcut geometria analitică independentă de geometria sintetică (non-analitică).