Câte soluții are o ecuație cuadratoare?

O ecuație patratică sau o ecuație de gradul doi poate avea zero, una sau două soluții reale, în funcție de coeficienții care apar în ecuația respectivă.

Dacă lucrați la numere complexe, atunci puteți spune că fiecare ecuație patratică are două soluții.

Pentru a începe o ecuație patratică este o ecuație a formei ax2 + bx + c = 0, unde a, b și c sunt numere reale și x este o variabilă.

Se spune că x1 este o soluție a ecuației quadratice anterioare, dacă înlocuirea lui x cu x1 satisface ecuația, adică dacă a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Dacă aveți, de exemplu, ecuația x²-4x + 4 = 0, atunci x1 = 2 este soluția deoarece (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Dimpotrivă, dacă x2 = 0 este substituit, obținem (0) 2 -4 (0) + 4 = 4 și ca 4 ≠ 0 atunci x2 = 0 nu este o soluție a ecuației cuadratoare.

Soluții ale unei ecuații patratice

Numărul de soluții ale unei ecuații patratice poate fi separat în două cazuri care sunt:

1.- În numerele reale

Când lucrați cu numere reale, ecuațiile patratice pot avea:

- Soluții: adică nu există un număr real care să satisfacă ecuația patratică. De exemplu, ecuația dată de ecuația x 2 + 1 = 0, nu există un număr real astfel încât să satisfacă această ecuație, deoarece atât x 2 este mai mare sau egal cu zero, iar 1 este mai strict decât zero, astfel încât suma să fie mai mare strict zero.

- O soluție repetată: există o singură valoare reală care satisface ecuația patratică. De exemplu, singura soluție la ecuația x²-4x + 4 = 0 este x1 = 2.

- Două soluții diferite: există două valori care satisfac ecuația patratică. De exemplu, x 2 + x-2 = 0 are două soluții diferite care sunt x1 = 1 și x2 = -2.

2.- În numere complexe

Când lucrăm cu numere complexe, ecuațiile cuadratoare au întotdeauna două soluții care sunt z1 și z2 unde z2 este conjugatul lui z1. În plus, ele pot fi clasificate în:

-Complexes: soluțiile sunt de forma z = p ± qi, unde p și q sunt numere reale. Acest caz corespunde cu primul caz din lista precedentă.

Componente pure: atunci când partea reală a soluției este egală cu zero, soluția are forma z = ± qi, unde q este un număr real. Acest caz corespunde cu primul caz din lista precedentă.

-Complexes cu o parte imaginară egală cu zero: atunci când partea complexă a soluției este egală cu zero, adică soluția este un număr real. Acest caz corespunde ultimelor două cazuri din lista anterioară.

Cum se calculeaza solutiile unei ecuatii patrate?

Pentru a calcula soluțiile unei ecuații patrate, se folosește o formulă cunoscută ca "resolver", care spune că soluțiile unei ecuații ax2 + bx + c = 0 sunt date de expresia următoarei imagini:

Cantitatea care apare în interiorul rădăcinii pătratului se numește discriminator al ecuației patratice și este notată cu litera "d".

Ecuația patratică va avea:

- Două soluții reale dacă, și numai dacă, d> 0.

- O soluție reală repetată dacă, și numai dacă, d = 0.

-Five soluții reale (sau două soluții complexe) dacă și numai dacă d <0.

Exemple:

Soluțiile ecuației x 2 + x-2 = 0 sunt date de:

- Ecuația x²-4x + 4 = 0 are o soluție repetată care este dată de:

Soluțiile ecuației x 2 + 1 = 0 sunt date de:

După cum se poate observa în acest ultim exemplu, x2 este conjugatul lui x1.