Principiul multiplicativ: tehnici de numărare și exemple
Principiul multiplicativ este o tehnică care este utilizată pentru a rezolva problemele de numărare pentru a găsi soluția fără a fi necesară listarea elementelor sale. Este, de asemenea, cunoscut ca principiul fundamental al analizei combinatoriale; se bazează pe o multiplicare succesivă pentru a determina modul în care poate să apară un eveniment.
Acest principiu precizează că, dacă o decizie (d 1 ) poate fi luată în n moduri și o altă decizie (d 2 ) poate fi luată în m moduri, numărul total de moduri în care se pot lua deciziile d 1 și d 2 va fi egal să se înmulțească de la n * m. Conform principiului, fiecare decizie se face una după alta: numărul de căi = N 1 * N 2 ... * N x moduri.
Exemple
Exemplul 1
Paula intenționează să meargă la filme cu prietenii ei și să aleagă hainele pe care le va purta, separă 3 bluze și 2 fuste. Câte moduri se poate rochia Paula?
soluție
În acest caz, Paula trebuie să ia două decizii:
d 1 = alegeți între 3 bluze = n
d 2 = Alegeți între 2 fuste = m
În acest fel, Paula are niște decizii de a face sau diferite moduri de îmbrăcare.
n * m = 3 * 2 = 6 decizii.
Principiul multiplicativ vine din tehnica diagramei arbore, care este o diagramă care corelează toate rezultatele posibile, astfel încât fiecare poate să apară într-un număr finit de ori.
Exemplul 2
Mario a fost foarte sete, așa că sa dus la brutărie pentru a cumpăra un suc. Luis îi răspunde și îi spune că are două dimensiuni: mari și mici; și patru arome: mere, portocale, lămâie și struguri. Câte moduri poate alege Mario pentru suc?
soluție
În diagrama se poate observa că Mario are 8 moduri diferite de alegere a sucului și că, ca și în principiul multiplicativ, acest rezultat este obținut prin înmulțirea lui n * m. Singura diferență este că prin această diagramă știți cum sunt modalitățile prin care Mario alege sucul.
Pe de altă parte, atunci când numărul de rezultate posibile este foarte mare, este mai practic să se folosească principiul multiplicativ.
Tehnici de numărare
Tehnicile de numărare sunt metode folosite pentru a face un număr direct și, prin urmare, cunoașteți numărul de aranjamente posibile pe care le pot avea elementele unui set dat. Aceste tehnici se bazează pe mai multe principii:
Principiul adăugării
Acest principiu afirmă că, dacă două evenimente m și n nu pot să apară în același timp, numărul de moduri în care poate apărea primul sau al doilea eveniment va fi suma m + n:
Numărul de formulare = m + n ... + x diferite forme.
exemplu
Antonio vrea să facă o excursie, dar nu decide care destinație; la Agenția de Turism de Sud vă oferă o promoție pentru a călători în New York sau Las Vegas, în timp ce Agenția de Turism de Est vă recomandă să călătoriți în Franța, Italia sau Spania. Cât de multe alternative de călătorie vă oferă Antonio?
soluție
Cu Agenția de Turism de Sud Antonio are 2 alternative (New York sau Las Vegas), în timp ce cu Agenția de Turism de Est are 3 opțiuni (Franța, Italia sau Spania). Numărul de alternative este:
Numărul de alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.
Principiul permutării
Este vorba despre ordonarea în mod specific a tuturor sau a unora dintre elementele care alcătuiesc un set, pentru a facilita numărarea tuturor aranjamentelor posibile care pot fi făcute cu elementele.
Numărul de permutări ale n diferitelor elemente luate simultan este reprezentat de:
n P n = n!
exemplu
Patru prieteni doresc să facă o fotografie și vor să știe câte forme pot fi comandate.
soluție
Vreți să cunoașteți setul de moduri posibile în care pot fi plasați cei 4 persoane pentru a face fotografia. Deci, trebuie:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 de forme diferite.
Dacă numărul de permutări ale n elementelor disponibile este luat de părți dintr-un set format din elementele r, acesta este reprezentat ca:
n P r = n! ÷ (n - r)!
exemplu
Într-o sală de clasă există 10 posturi. Dacă în clasă participă 4 elevi, în câte moduri pot ocupa elevi posturile?
soluție
Numărul total de seturi de scaune este de 10 și dintre acestea doar 4 vor fi utilizate. Formula dată este aplicată pentru a determina numărul de permutări:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 moduri de umplere a pozițiilor.
Există cazuri în care unele din elementele disponibile ale unui set se repetă (ele sunt aceleași). Pentru a calcula numărul de aranjamente care iau toate elementele simultan, se folosește următoarea formulă:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
exemplu
Câte cuvinte diferite de patru litere pot fi formate din cuvântul "lup"?
soluție
În acest caz, avem 4 elemente (litere) din care două sunt exact aceleași. Aplicând formula dată, știm câte cuvinte diferite sunt:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 cuvinte diferite.
Principiul combinării
Este vorba despre fixarea tuturor sau a unora dintre elementele care formează un set fără o comandă specifică. De exemplu, dacă aveți o matrice XYZ, aceasta va fi identică cu matricele ZXY, YZX, ZYX, printre altele; Acest lucru se datorează faptului că, în ciuda faptului că nu se află în aceeași ordine, elementele fiecărui aranjament sunt identice.
Când se iau anumite elemente (r) ale setului (n), principiul combinării este dat de următoarea formulă:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
exemplu
Într-un magazin vinde 5 tipuri diferite de ciocolată. Câte moduri diferite puteți alege 4 ciocolată?
soluție
În acest caz, trebuie să alegeți 4 ciocolată din cele 5 tipuri vândute în magazin. Ordinea în care sunt alese nu contează și, în plus, un tip de ciocolată poate fi ales de mai mult de două ori. Aplicând formula, trebuie să:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 moduri diferite de a alege 4 ciocolată.
Când toate elementele (r) ale setului (n) sunt luate, principiul combinării este dat de următoarea formulă:
n C n = n!
Exerciții rezolvate
Exercițiul 1
Aveți o echipă de baseball cu 14 membri. În câte moduri pot fi atribuite 5 posturi pentru un joc?
soluție
Setul este compus din 14 elemente și doriți să atribuiți 5 poziții specifice; adică, această ordine contează. Formula de permutare este aplicată în cazul în care n elementele disponibile sunt luate de părți dintr-un set format din r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Unde n = 14 și r = 5. Se substituie în formula:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 moduri de a atribui cele 9 poziții ale jocului.
Exercițiul 2
Dacă o familie de 9 membri merge pe o călătorie și își cumpără biletele cu locuri consecutive, câte moduri pot sta?
soluție
Se compune din 9 elemente care vor ocupa consecutiv 9 locuri.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 de moduri diferite de ședere.
