Derivați succesivi (cu exerciții rezolvate)

Derivații succesivi sunt derivații unei funcții după al doilea derivat. Procesul de calcul al derivatelor succesive este următorul: avem o funcție f, pe care o putem extrage și obținem astfel funcția derivată f '. La acest derivat al f putem extrage din nou, obținând (f ')'.

Această nouă funcție este denumită derivat secundar; toate derivatele calculate din al doilea sunt succesive; Acestea, numite și ordine superioară, au aplicații deosebite, cum ar fi furnizarea de informații despre graficul unei grafice a unei funcții, al doilea test derivat pentru extreme relativ și determinarea seriilor infinite.

definiție

Folosind notația Leibniz, avem că derivatul unei funcții "y" în raport cu "x" este dy / dx. Pentru a exprima al doilea derivat al "și" folosind notația Leibniz, scriem după cum urmează:

În general, putem să exprimăm derivații succesivi, după cum urmează, cu notația Leibniz, unde n reprezintă ordinea derivatului.

Alte notații utilizate sunt următoarele:

Câteva exemple în care putem vedea diferitele notații sunt:

Exemplul 1

Obțineți toți derivații funcției f definite de:

Folosind tehnicile obișnuite de derivare, avem că derivatul lui f este:

Prin repetarea procesului putem obține al doilea derivat, al treilea derivat și așa mai departe.

Rețineți că al patrulea derivat este zero și derivatul zero este zero, deci trebuie să:

Exemplul 2

Calculați al patrulea derivat al următoarei funcții:

Derivând funcția dată, rezultă:

Viteză și accelerare

Una dintre motivațiile care au condus la descoperirea derivatului a fost căutarea definiției vitezei instantanee. Definiția formală este următoarea:

Fie y = f (t) o funcție a cărei grafic descrie traiectoria unei particule la o instantă t, atunci viteza ei la o instantă t este dată de:

Odată obținută viteza unei particule, putem calcula accelerația instantanee, care este definită după cum urmează:

Accelerația instantanee a unei particule a cărei cale este dată de y = f (t) este:

Exemplul 1

O particulă se deplasează pe o linie în funcție de funcția de poziție:

În cazul în care "și" este măsurat în metri și "t" în secunde.

- În ce moment este viteza 0?

- În ce moment este accelerația lui 0?

Atunci când derivăm funcția de poziționare «și» avem că viteza și accelerația ei sunt date de:

Pentru a răspunde la prima întrebare, este suficient să se determine când funcția v devine zero; acesta este:

Continuăm cu următoarea întrebare în mod analog:

Exemplul 2

O particulă se mișcă pe o linie în conformitate cu următoarea ecuație de mișcare:

Determinați «t, y» și «v» când a = 0.

Știind că viteza și accelerația sunt date de

Continuăm să obținem și obținem:

Făcând a = 0, avem:

Din care putem deduce că valoarea lui t pentru a este egală cu zero este de t = 1.

Apoi, evaluând funcția de poziționare și funcția de viteză la t = 1, trebuie să:

aplicații

Diferențierea derivată

Derivații succesivi pot fi de asemenea obținuți prin derivare implicită.

exemplu

Având în vedere următoarea elipsă, găsiți «și»:

Derivând implicit în ceea ce privește toporul, avem:

Apoi, revenind implicit cu privire la topor, ne dă:

În cele din urmă, avem:

Legaturile relative

O altă utilizare pe care o putem da derivatelor de ordinul doi este calculul capetelor relative ale unei funcții.

Criteriul primului derivat pentru extremele locale ne spune că, dacă avem o funcție f continuă într-un interval (a, b) și există un c care aparține acelui interval astfel încât f 'este anulat în c (adică c este un punct critic), poate apărea unul din aceste trei cazuri:

Dacă f '(x)> 0 pentru orice x aparținând (a, c) și f' (x) <0 pentru x aparținând (c, b), atunci f (c) este un maxim local.

- Dacă f '(x) 0 pentru x aparținând (c, b), atunci f (c) este un minim local.

- Dacă f '(x) are același semnal (a, c) și în (c, b), aceasta implică faptul că f (c) nu este un efect final local.

Folosind criteriul celui de-al doilea derivat, putem ști dacă un număr critic al unei funcții este un maxim sau minim local, fără a trebui să vedem ce înseamnă semnul funcției în intervalele menționate anterior.

Al doilea criteriu de derivare ne spune că dacă f '(c) = 0 și f' '(x) este continuă în (a, b), se întâmplă că dacă f' '(c)> 0 atunci f (c) este un minim local și dacă f '' (c) <0 atunci f (c) este un maxim local.

Daca f '' (c) = 0, nu putem incheia nimic.

exemplu

Având în vedere funcția f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, găsiți maximele și minimele relative ale f aplicând criteriul celui de-al doilea derivat.

Mai întâi, calculăm f '(x) și f' '(x) și avem:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Acum, f '(x) = 0 dacă și numai dacă 4x (x + 2) (x - 1) = 0, iar acest lucru se întâmplă când x = 0, x = 1 sau ox = - 2.

Pentru a determina daca numerele critice obtinute sunt extreme extreme, este suficient sa se evalueze in f '' si astfel sa se respecte semnul ei.

f '' (0) = - 8, deci f (0) este un maxim local.

f '' (1) = 12, deci f (1) este un minim local.

f '' (- 2) = 24, deci f (- 2) este un minim local.

Seria Taylor

Fie f o funcție definită după cum urmează:

Această funcție are o rază de convergență R> 0 și are derivații tuturor ordinelor în (-R, R). Derivații succesivi ai lui f ne dau:

Luând x = 0, putem obține valorile lui c _n ca funcție a derivaților săi, după cum urmează:

Dacă luăm a = 0 ca funcție f (adică f ^ 0 = f), atunci putem rescrie funcția după cum urmează:

Acum ia în considerare funcția ca o serie de puteri în x = a:

Dacă efectuăm o analiză analoagă celei anterioare, ar trebui să scriem funcția f ca:

Aceste serii sunt cunoscute sub numele de seria Taylor de f în a. Atunci când a = 0 avem cazul special care se numește seria Maclaurin. Acest tip de serie are o mare importanță matematică, mai ales în analiza numerică, deoarece datorită acestora putem defini funcții în computere cum ar fi ex, sin (x) și cos (x).