Funcția injectivă: din ce constau, pentru ce sunt și exemple cu exerciții rezolvate

O funcție injectivă este toata relația dintre elementele domeniului cu un singur element al codomainului. De asemenea, cunoscută sub forma unei funcții unu-la-unu ( 1-1 ), acestea fac parte din clasificarea funcțiilor în ceea ce privește modul în care ele sunt legate de elementele lor.

Un element al codomainului poate fi doar imaginea unui singur element al domeniului, astfel încât valorile variabilei dependente nu pot fi repetate.

Un exemplu clar ar fi acela de a grupa bărbații cu munca într-un grup A și de un grup B cu toți liderii. Funcția F va fi cea care îi asociază pe fiecare muncitor cu șeful său. Dacă fiecare lucrător este asociat cu un șept diferit prin F, atunci F va fi o funcție injectivă .

Pentru a considera o funcție ca fiind injectivă, trebuie îndeplinite următoarele:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Acesta este modul algebric de a spune Pentru toate x ₁ diferite de x ₂ avem un F (x ₁ ) diferit de F (x ₂ ).

Pentru ce sunt funcțiile injective?

Injectivitatea este o proprietate a funcțiilor continue, deoarece acestea asigură alocarea de imagini pentru fiecare element al domeniului, un aspect esențial în continuitatea unei funcții.

Atunci când se trage o linie paralelă cu axa X pe graficul unei funcții injective, numai graficul trebuie atins într-un singur punct, indiferent de înălțimea sau magnitudinea Y a liniei. Acesta este modul grafic pentru a testa injectabilitatea unei funcții.

O altă modalitate de a testa dacă o funcție este injectivă este să ștergeți variabila independentă X în termenii variabilei dependente Y. Apoi, trebuie să verificați dacă domeniul acestei noi expresii conține numerele reale, în același timp pentru fiecare valoare Y Există o singură valoare a lui X.

Funcțiile sau relațiile de ordine respectă, printre alte forme, notația F: D _f → C _f

A se citi F care merge de la D _f la C _f

În cazul în care funcția F se referă la seturile de Domeniu și Codomain. De asemenea, cunoscut ca set de pornire și set de sosire.

Domeniul D _f conține valorile permise pentru variabila independentă. Codomaina C _f este formată din toate valorile disponibile pentru variabila dependentă. Elementele lui _Cf legate de D _f sunt cunoscute sub numele de Gama de funcții (R _f ).

Condiționarea funcțiilor

Uneori, o funcție care nu este injectivă poate fi supusă anumitor condiții. Aceste condiții noi o pot transforma într-o funcție injectivă. Sunt valabile toate tipurile de modificări ale domeniului și ale cododinei funcției, în cazul în care obiectivul este de a se conforma proprietăților injectabilității în relația corespunzătoare.

Exemple de funcții injectabile cu exerciții rezolvate

Exemplul 1

Fie funcția F: R → R definită de linia F (x) = 2x - 3

R: [Toate numerele reale]

Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului există o imagine în codomaină. Această imagine este unică, ceea ce face ca F să fie o funcție injectivă. Aceasta se aplică tuturor funcțiilor liniare (funcții ale căror cel mai înalt grad al variabilei este unul).

Exemplul 2

Fie funcția F: R → R definită de F (x) = x2 +1

Atunci când se trasează o linie orizontală, se observă că graficul se găsește mai mult decât o dată. Din această cauză, funcția F nu este injectivă atâta timp cât R → R este definită

Continuăm să condiționăm domeniul funcției:

F: R + U {0} → R

Acum, variabila independentă nu ia valori negative, evitând astfel rezultate repetate, iar funcția F: R + U {0} → R definită de F (x) = x2 + 1 este injectivă .

O altă soluție omologă ar fi delimitarea domeniului din stânga, adică restricționarea funcției de a lua doar valori negative și zero.

Continuăm să condiționăm domeniul funcției

F: R - U {0} → R

Acum, variabila independentă nu ia valori negative, astfel se evită repetarea rezultatelor și funcția F: R - U {0} → R definită de F (x) = x2 + 1 este injectivă .

Funcțiile trigonometrice au comportamente similare valurilor, unde este foarte frecventă găsirea repetițiilor valorilor în variabila dependentă. Prin condiționarea specifică, bazată pe cunoașterea prealabilă a acestor funcții, putem limita domeniul pentru a îndeplini condițiile de injectare.

Exemplul 3

Fie funcția F: [- π / 2, π / 2 ] → R definită de F (x) = Cos (x)

În intervalul [- π / 2 → π / 2 ] funcția cosinus variază rezultatele între zero și una.

După cum se arată în grafic. Începeți de la zero la x = - π / 2, apoi ajungeți la un maxim la zero. După x = 0, valorile încep să se repete, până la revenirea la zero la x = π / 2. În acest fel se știe că F (x) = Cos (x) nu este injectabil pentru intervalul [- π / 2, π / 2 ] .

Când studiem graficul funcției F (x) = Cos (x), observăm intervale în care comportamentul curbei se adaptează criteriilor de injectabilitate. Spre exemplu, intervalul

[0, π ]

În cazul în care funcția variază de la 1 la -1, fără a repeta nici o valoare în variabila dependentă.

În acest fel funcția funcțională F: [0, π ] → R definită de F (x) = Cos (x). Este injectiv

Există funcții neliniare în care sunt prezentate cazuri similare. Pentru expresii de tip rațional, unde numitorul găzduiește cel puțin o variabilă, există restricții care împiedică injectarea relației.

Exemplul 4

Fie funcția F: R → R definită de F (x) = 10 / x

Funcția este definită pentru toate numerele reale cu excepția {0} care are o indeterminare (nu poate fi împărțită la zero) .

Când se apropie zero de stânga, variabila dependentă are valori negative foarte mari, iar imediat după zero, valorile variabilei dependente iau cifre pozitive mari.

Această întrerupere determină expresia F: R → R definită de F (x) = 10 / x

Nu fi injectiv.

După cum sa văzut în exemplele anterioare, excluderea valorilor din domeniu servește la "repararea" acestor indeterminări. Continuăm să excludem zero-ul domeniului, lăsând seturile de plecare și de sosire definite astfel:

R - {0} → R

Unde R - {0} simbolizează realitățile, cu excepția unui set al cărui element este zero.

În acest fel expresia F: R - {0} → R definită de F (x) = 10 / x este injectivă.

Exemplul 5

Fie funcția F: [0, π ] → R definită de F (x) = Sen (x)

În intervalul [0, π ] funcția sinusoidală variază rezultatele între zero și una.

După cum se arată în grafic. Începeți de la zero la x = 0, apoi ajungeți la un maxim la x = π / 2. După x = π / 2, valorile încep să se repete până la revenirea la zero la x = π. În acest fel se știe că F (x) = Sen (x) nu este injectiv pentru intervalul [0, π ] .

Când studiem graficul funcției F (x) = Sen (x), observăm intervale în care comportamentul curbei se adaptează criteriilor de injectare. Spre exemplu, intervalul [ π / 2 , 3π / 2 ]

În cazul în care funcția variază de la 1 la -1, fără a repeta nici o valoare în variabila dependentă.

În acest fel funcția F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definit de F (x) = Sen (x). Este injectiv

Exemplul 6

Verificați dacă funcția F: [0, ∞) → R definită de F (x) = 3x2 este injectivă.

Cu această ocazie, domeniul de exprimare este deja limitat. De asemenea, se observă că valorile variabilei dependente nu se repetă în acest interval.

Prin urmare, se poate concluziona că F: [0, ∞) → R definit de F (x) = 3x2 este injectiv

Exemplul 7

Identificați care dintre următoarele funcții este

1. Este injectiv. Elementele asociate ale codomainelor sunt unice pentru fiecare valoare a variabilei independente.
2. Nu este injectiv. Există elemente ale codomainelor asociate cu mai mult de un element din setul de pornire.
3. Este injectiv
4. Nu este injectiv

Exerciții propuse pentru clasă / casă

Verificați dacă următoarele funcții sunt injective:

F: [0, ∞) → R definit de F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definit de F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R definit de F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definit de linia F (x) = 7x + 2