Funcția bijectivă: din ce constă, cum se face, exemple și exerciții
O funcție bijectivă este una care îndeplinește dubla condiție de a fi injectabilă și surjectivă . Adică, toate elementele domeniului au o singură imagine în codomaină, iar la rândul său codomainul este egal cu domeniul funcției ( Rf ).
Este îndeplinită atunci când se ia în considerare o relație unu-la-unu între elementele domeniului și codomain. Un exemplu simplu este funcția F: R → R definită de linia F (x) = x
Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului sau a setului de plecare (ambii termeni se aplică în mod egal) avem o singură imagine în codomaină sau set de sosire. În plus, nu există niciun element al codomain care nu este o imagine.
În acest fel F: R → R definit de linia F (x) = x este bijectivă
Cum se face o funcție bijectivă?
Pentru a răspunde la aceasta, este necesar să fie clar conceptele legate de Injectivitate și Superjectivitate ale unei funcții, precum și criteriile de condiționare a funcțiilor pentru a le adapta cerințelor.
Injectivitatea unei funcții
O funcție este injectivă atunci când fiecare dintre elementele domeniului său este legat de un singur element al codomainului. Un element al codomainului poate fi doar imaginea unui singur element al domeniului, astfel încât valorile variabilei dependente nu pot fi repetate.
Pentru a considera o funcție ca fiind injectivă, trebuie îndeplinite următoarele:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Supra-activitate a unei funcții
O funcție este clasificată ca surjectivă, dacă fiecare element al codomainului său este imaginea a cel puțin unui element al domeniului.
Pentru a considera un proiect ca acoperit de nori, trebuie îndeplinite următoarele:
Fie F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Aceasta este modalitatea algebrică de a stabili că pentru orice "b" care aparține lui C f există un "a" care aparține lui D f astfel încât funcția evaluată în "a" să fie egală cu "b".
Condiționarea funcțiilor
Uneori, o funcție care nu este bijectivă poate fi supusă anumitor condiții. Aceste condiții noi o pot transforma într-o funcție bijectivă. Sunt valabile toate tipurile de modificări ale domeniului și ale cododinei funcției, în care obiectivul este de a se conforma proprietăților injectării și supra-activității în relația corespunzătoare.
Exemple: exerciții rezolvate
Exercițiul 1
Fie funcția F: R → R definită de linia F (x) = 5x +1
R: [Toate numerele reale]
Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului există o imagine în codomaină. Această imagine este unică, ceea ce face ca F să fie o funcție injectivă . În același mod observăm că codomainul funcției este egal cu rangul ei. Astfel, îndeplinirea condiției de supra-activitate.
Fiind injectiv și surjectiv, putem concluziona în același timp
F: R → R definit de linia F (x) = 5x +1 este o funcție bijectivă.
Aceasta se aplică tuturor funcțiilor liniare (funcții ale căror cel mai înalt grad al variabilei este unul).
Exercițiul 2
Fie funcția F: R → R definită de F (x) = 3x2 - 2
Atunci când se trasează o linie orizontală, se observă că graficul se găsește mai mult decât o dată. Din această cauză, funcția F nu este injectabilă și, prin urmare, nu va fi bijectivă atât timp cât este definită în R → R
În același mod, există valori ale codomain care nu sunt imagini ale nici unui element al domeniului. Din acest motiv, funcția nu este surjectivă, care merită să condiționeze și setul de sosire.
Continuăm să condiționăm domeniul și codomainul funcției
F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]
În cazul în care se observă că noul domeniu acoperă valorile de la zero la infinit pozitiv. Evitarea repetării valorilor care afectează injectabilitatea.
De asemenea, codomainul a fost modificat, numărând de la "-2" la infinitul pozitiv, eliminând din codomain valorile care nu corespund nici unui element al domeniului
În acest fel se poate asigura că F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ] definit de F (x) = 3x2 - 2
Este bijectiv
Exercitarea 3
Fie funcția F: R → R definită de F (x) = Sen (x)
În intervalul [- ∞, + ∞ ] funcția sinusoidală variază între zero și una.
Funcția F nu corespunde criteriilor de injectabilitate și sobreyectividad, deoarece valorile variabilei dependente se repetă la fiecare interval de π. În plus, termenii codomainelor în afara intervalului [-1, 1] nu sunt imagini ale nici unui element al domeniului.
Când studiem graficul funcției F (x) = Sen (x), observăm intervale în care comportamentul curbei îndeplinește criteriile de bijectivitate . De exemplu, intervalul Df = [ π / 2 , 3π / 2 ] pentru domeniu. Și C f = [-1, 1] pentru codomaină.
În cazul în care funcția variază de la 1 la -1, fără a repeta nici o valoare în variabila dependentă. În același timp, codomaina este egală cu valorile adoptate de expresia Sen (x)
În acest fel funcția F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] definit de F (x) = Sen (x). Este bijectiv
Exercitarea 4
Stabiliți condițiile necesare pentru D f și C f . Deci expresia
F (x) = -x2 este bijectiv.
Repetarea rezultatelor se observă atunci când variabila are valori opuse:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Domeniul este condiționat, limitându-l la partea dreaptă a liniei reale.
D f = [0, + ∞ ]
În același mod se observă că intervalul acestei funcții este intervalul [- ∞ , 0], care, atunci când acționează ca un codomain, îndeplinește condițiile de supraactivitate.
În acest fel, putem concluziona
Expresia F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0] definită de F (x) = -x2 Este bijectivă
Exerciții propuse
Verificați dacă următoarele funcții sunt bijective:
F: [0, ∞) → R definit prin F (x) = 3 (x + 1) 2 +2
F: [ 3π / 2 , 5π / 2 ] → R definit de F (x) = 5ctg (x)
F: [- π , π ] → R definit de F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definit de linia F (x) = -5x + 4
