Constanta de integrare: inteles, cum se calculeaza si exemple

Constanta de integrare este o valoare adaugata la calculul antiderivativelor sau integralelor, serveste sa reprezinte solutiile care alcatuiesc primitivul unei functii. Exprimă o ambiguitate inerentă în care orice funcție are un număr infinit de primitivi.

De exemplu, daca functia este luata: f (x) = 2x + 1 si primim antiderivativa:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Unde C este constanta de integrare si reprezinta grafic traditia verticala intre posibilitatile infinite ale primitivului. Este corect să spunem că (x2 + x) este una dintre primitivele lui f (x).

În același mod putem defini o (x2 + x + C ) ca primitivă a lui f (x).

Proprietatea inversă

Se poate observa că la obținerea expresiei (x2 + x) se obține funcția f (x) = 2x + 1. Aceasta se datorează proprietății inverse existente între derivarea și integrarea funcțiilor. Această proprietate permite obținerea formulelor de integrare începând cu diferențierea. Ceea ce permite verificarea integralelor prin aceleași derivate.

Cu toate acestea (x2 + x) nu este singura funcție al cărei derivat este egal cu (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2 x 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2 x 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2 x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

În cazul în care 1, 2, 3 și 4 reprezintă primitive particulare ale f (x) = 2x + 1. În timp ce 5 reprezintă integralele nedefinite sau primitive ale f (x) = 2x + 1.

Primitivele unei funcții sunt obținute prin procesul de antiderivare sau integrale. În cazul în care F va fi o primitivă a lui f dacă adevărul este următorul

y = f (x) dx = F (x) + C; C = constanta de integrare
F '(x) = f (x)

Se apreciază că o funcție are un singur derivat, spre deosebire de primitivele sale infinite rezultate din integrare.

Integralul indefinit

∫ f (x) dx = F (x) + C

Corespunde unei familii de curbe cu același model, care se confruntă cu incongruența în valoarea imaginilor fiecărui punct (x, y). Fiecare funcție care respectă acest tipar va fi o primitivă individuală, iar mulțimea tuturor funcțiilor este cunoscută ca un integru indefinit.

Valoarea constantei de integrare va fi cea care diferențiază fiecare funcție în practică.

Constanta de integrare sugerează o schimbare verticală în toate graficele care reprezintă primitivele unei funcții. Unde se observă paralelismul dintre ele și faptul că C este valoarea deplasării.

Conform practicilor comune, constanta de integrare este marcată cu litera "C" după o addendă, deși în practică este indiferent dacă se adaugă sau se scade constant. Valoarea reală poate fi găsită în moduri diferite, în funcție de diferite condiții inițiale .

Alte semnificații ale constantei de integrare

Am vorbit deja despre modul în care se aplică constanta de integrare în ramura calculului integrat ; Reprezentând o familie de curbe care definesc integritatea nedeterminată. Dar multe alte științe și ramuri au atribuit valori foarte interesante și practice ale constantei de integrare, care au facilitat dezvoltarea de studii multiple.

În fizică, constanta de integrare poate lua mai multe valori în funcție de natura datelor. Un exemplu foarte comun este de a cunoaște funcția V (t) care reprezintă viteza unei particule față de timpul t. Se știe că calculul primitiv al lui V (t) dă funcția R (t) care reprezintă poziția particulei față de timp.

Constanta de integrare va reprezenta valoarea poziției inițiale, adică la momentul t = 0.

În mod similar, dacă știm funcția A (t) care reprezintă accelerația particulei față de timp. Primița A (t) va avea ca rezultat funcția V (t), unde constanta de integrare va fi valoarea vitezei inițiale V ₀ .

În economie, prin obținerea primitivei unei funcții de cost prin integrare. Constanta de integrare va reprezenta costurile fixe. Și multe alte aplicații care necesită un calcul diferențial și integral.

Cum se calculează constanta de integrare?

Pentru calcularea constantei de integrare, va fi întotdeauna necesară cunoașterea condițiilor inițiale . Care sunt responsabile pentru definirea care dintre primitivele posibile este cea corespunzătoare.

În multe aplicații, este tratată ca o variabilă independentă la momentul (t), unde constanta C ia valorile care definesc condițiile inițiale ale cazului particular.

Dacă se ia exemplul inițial: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

O condiție inițială valabilă poate fi condiția ca graficul să treacă printr-o anumită coordonată. De exemplu, se știe că primitivul (x2 + x + C) trece prin punctul (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; aceasta este soluția generală

F (1) = 2

Înlocuim soluția generală în această egalitate

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

De unde se deduce cu ușurință că C = 0

În acest fel primitivul corespunzător pentru acest caz este F (x) = x2 + x

Există mai multe tipuri de exerciții numerice care funcționează cu constante de integrare . De fapt, calculul diferențial și integral nu se oprește în aplicarea anchetelor actuale. La diferite niveluri academice pot fi găsite; de la calculul inițial, trecând prin fizică, chimie, biologie, economie, printre altele.

Este de asemenea văzut în studiul ecuațiilor diferențiale, unde constanta de integrare poate lua diferite valori și soluții, datorită multiplelor derivări și integrații care se fac în această materie.

Exemple

Exemplul 1

Un tun situat la 30 de metri înălță un proiectil vertical în sus. Se știe că viteza inițială a proiectilului este de 25 m / s. determină:

Funcția care definește poziția proiectilului în funcție de timp.
Timpul de zbor sau momentul în care particula atinge pământul.

Se știe că într-o mișcare rectilinie uniformă, accelerația este o valoare constantă. Acesta este cazul lansării proiectilelor, unde accelerația va fi gravitatea

g = - 10 m / s2

Este, de asemenea, cunoscut faptul că accelerația este al doilea derivat al poziției, ceea ce indică o dublă integrare în rezolvarea exercițiului, obținând astfel două constante de integrare.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Condițiile inițiale ale exercițiului indică faptul că viteza inițială este V ₀ = 25 m / s. Aceasta este viteza la momentul instant t = 0. Astfel, rezultă că:

V (0) = 25 = -10 (0) + Ci și Ci = 25

Funcția de viteză este definită

V (t) = -10t + 25; Se poate observa similaritatea cu formula MRUV (V _f = V ₀ + axt)

În mod omologic, funcția de viteză este integrată pentru a obține expresia care definește poziția:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C2 (poziție primitivă)

Poziția inițială R (0) = 30 m este cunoscută. Apoi se calculează primitivul specific al proiectilului.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C2 . Unde C ₂ = 30

Prima secțiune este rezolvată deoarece R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Această expresie este omologă cu formula de deplasare în MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

Pentru a doua secțiune trebuie să rezolvăm ecuația cuadratoare: -5t2 + 25t + 30 = 0

Deoarece aceasta condiționează particula să ajungă la sol (poziția = 0)

De fapt, ecuația clasei a 2-a ne oferă două soluții T: {6, -1}. Valoarea t = -1 este ignorată deoarece reprezintă unități ale căror domenii nu includ numere negative.

În acest fel, secțiunea a doua este rezolvată, unde timpul de zbor este egal cu 6 secunde.

Exemplul 2

Găsiți primitivul f (x) care îndeplinește condițiile inițiale:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Cu informația celui de-al doilea derivat f '' (x) = 4 începe procesul de antiderivare

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ 4 dx = 4x + C ₁

Apoi, cunoscând condiția f '(2) = 2, procedați astfel:

4 (2) + C1 = 2

C ₁ = -6 și f '(x) = 4x - 8

Aceeași procedură este urmată de a doua constanță de integrare

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C2

Condiția inițială f (0) = 7 este cunoscută și procedăm:

2 (0) 2-8 (0) + C2 = 7

C ₂ = 7 și f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

În mod similar cu problema anterioară, definim primii derivați și funcția originală din condițiile inițiale.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Cu condiția f '(0) = 6 procedură:

(03/3) + C1 = 6; Unde C ₁ = 6 și f '(x) = (x3 / 3) + 6

Apoi, a doua constanta a integrarii

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C2

Condiția inițială f (0) = 3 este cunoscută și se continuă:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C2 = 3; Unde C ₂ = 3

Primitivul special este astfel obținut

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Exemplul 3

Definiți funcțiile primitive date derivatelor și un punct al graficului:

dy / dx = 2x - 2 Ce se întâmplă prin punctul (3, 2)

Este important să ne amintim că derivații se referă la panta liniei tangente la curbă la un anumit punct. În cazul în care nu este corect să presupunem că graficul derivatului atinge punctul indicat, deoarece acesta aparține graficului funcției primitive.

În acest fel, exprimăm ecuația diferențială în felul următor:

dy = ( 2x - 2) dx ; atunci când aplicăm criteriile de antiderivare, avem:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Aplicarea condiției inițiale:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Obțineți: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Ce se întâmplă prin punctul (0, 2)

Exprimăm ecuația diferențială în felul următor:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; atunci când aplicăm criteriile de antiderivare, avem:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Aplicarea condiției inițiale:

2 = (0) 2-2 (0) + C

C = 2

Obțineți: f (x) = x3 - x + 2

Exerciții propuse

Exercițiul 1

Găsiți primitivul f (x) care îndeplinește condițiile inițiale:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Exercițiul 2

Un balon care urcă la o viteză de 16 picioare / s eliberează un sac de nisip de la o înălțime de 64 de metri deasupra solului.

Definiți timpul de zbor
Care va fi vectorul V _f când atinge podeaua?

Exercitarea 3

Figura arată graficul de accelerare-timp al unei mașini care se deplasează în direcția pozitivă a axei x. Masina se deplasează la o viteză constantă de 54 km / h, când șoferul a aplicat frânele pentru a opri în 10 secunde. determină: