Spațiu vector: baza și dimensiunea, axiome, proprietăți, exemple

Un spațiu vectoric este un set non-gol V = { u , v , w , ......}, ale cărui elemente sunt vectori. Cu acestea, se desfășoară unele operațiuni importante, printre care se numără următoarele:

- suma dintre doi vectori u + v care rezultă în z, care aparține setului V.

- Înmulțirea unui număr real α cu un vector v : α v care dă un alt vector și care aparține lui V.

Pentru a desemna un vector folosim bold ( v este un vector), iar pentru scalare sau numere litere grecești (α este un număr).

Axiome și proprietăți

Pentru a fi un spațiu vectorial, trebuie îndeplinite următoarele opt axiome:

1-Comutare: u + v = v + u

Transpirația 2: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3 - Existența vectorului nul 0 astfel încât 0 + v = v

4 - Existența opusului: opusul v este (- v ), deoarece v + (- v ) = 0

5-Distributivitatea produsului în raport cu suma vectorului: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributivitatea produsului în raport cu suma scalară: (α + β) v = α v + β v

7-Asociativitatea produsului scalari: α (β v ) = (α β) v

8 - Numărul 1 este elementul neutru din moment ce: 1 v = v

Exemple de spații vectoriale

Exemplul 1

Vectorii din plan (R2) sunt un exemplu de spațiu vectorial. Un vector în plan este un obiect geometric care are magnitudinea și direcția. Este reprezentat de un segment orientat care aparține planului menționat și cu o dimensiune proporțională cu magnitudinea sa.

Suma a doi vectori în plan poate fi definită ca operația geometrică a traducerii celui de-al doilea vector după primul. Rezultatul sumei este segmentul orientat care începe de la originea primei și ajunge la vârful celui de-al doilea.

În figură se poate observa că suma în R2 este comutativă.

Produsul unui număr α este de asemenea definit de un vector. Dacă numărul este pozitiv, direcția vectorului original este menținută, iar dimensiunea este a ori vectorul original. Dacă numărul este negativ, adresa este invers, iar dimensiunea vectorului rezultat este valoarea absolută a numărului.

Vectorul opus unui vector orice v este - v = (- 1) v .

Vectorul nul este un punct în planul R², iar numărul zero pentru un vector are ca rezultat vectorul nul.

Tot ceea ce este spus este ilustrat în Figura 2.

Exemplul 2

Setul P al tuturor polinomilor de grad mai mic sau egal cu doi, inclusiv gradul zero, formează un set care îndeplinește toate axiomele unui spațiu vectorial.

Fie polinomul P (x) = a x 2 + bx + c și Q (x) = d x 2 + ex + f

Suma a două polinoame este definită: P (x) + Q (x) = (a + d) x 2 + (b + e) ​​x +

Suma polinomilor aparținând setului P este comutativă și tranzitivă.

Polinomul nul aparținând setului P este cel care are toți coeficienții săi egali cu zero:

0 (x) = 0 x 2 + 0 x + 0

Suma unui a scalar este definită de un polinom cum ar fi: α P (x) = α ∙ a x 2 + α ∙ bx + α ∙ c

Polinomul opus al P (x) este -P (x) = (-1) P (x).

Din toate cele de mai sus rezultă că setul P al tuturor polinomilor de grad mai mic sau egal cu doi este un spațiu vectorial.

Exemplul 3

Setul M al tuturor matricilor din coloanele xn de coloane ale căror elemente sunt numere reale formează un spațiu vectorial real, în ceea ce privește operațiile de adăugare de matrice și produsul unui număr printr-o matrice.

Exemplul 4

Setul F al funcțiilor continue ale variabilei reale formează un spațiu vectoric, deoarece este posibil să se definească suma a două funcții, multiplicarea unui scalar printr-o funcție, funcția nulă și funcția simetrică. De asemenea, ele îndeplinesc axiomele care caracterizează un spațiu vectorial.

Baza și dimensiunea unui spațiu vectorial

bază

Baza unui spațiu vectorial este definită ca un set de vectori liniar independenți, astfel încât orice vector al acelui spațiu vectorial poate fi generat dintr-o combinație liniară a acestora.

Pentru a combina liniar două sau mai multe vectori este de a multiplica vectorii de către unele scalari și apoi adăugați-le vectorial.

De exemplu, baza canonică definită de vectorii de unitate (de magnitudine 1) i, j, k este folosită în spațiul vectorial al trei dimensiuni formate de R3.

Unde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Acestea sunt vectorii cartezieni sau canonici.

Orice vector V care aparține lui R este scris ca V = a i + b j + c k, care este o combinație liniară a vectorilor de bază i, j, k . Scalarele sau numerele a, b, c sunt cunoscute ca componente carteziane ale lui V.

Se mai spune că vectorii de bază ai unui spațiu vectorial formează un set generator al spațiului vectorial.

dimensiune

Dimensiunea unui spațiu vectoric este numărul cardinal al unei baze vectoriale pentru spațiul menționat; adică numărul de vectori care alcătuiesc baza menționată.

Acest cardinal este numărul maxim de vectori independenți liniar ai acelui spațiu vectoric și, în același timp, numărul minim de vectori care formează un generator de spațiu menționat.

Bazele unui spațiu vectorial nu sunt unice, însă toate bazele aceluiași spațiu vectorial au aceeași dimensiune.

Vector subspațiu

Un subspațiu vectorial S al unui spațiu vectorial V este un subset de V în care aceleași operații sunt definite ca în V și îndeplinesc toate axiomele spațiului vectorial. Prin urmare, subspațiul S va fi, de asemenea, un spațiu vectorial.

Exemplu de subspațiu vectorial sunt vectorii care aparțin planului XY. Acest subspațiu este un subset al unui spațiu vectorial de dimensionalitate mai mare decât setul de vectori aparținând spațiului tridimensional XYZ.

Un alt exemplu de subspațiu vectorial S1 al spațiului vectorial S format de toate matricile 2 × 2 cu elemente reale este cel definit mai jos:

În schimb, S2 definit mai jos, deși este un subset de S, nu formează un subspațiu vectorial:

Exerciții rezolvate

-Exercitarea 1

Fie vectorii V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) și V3 = (0, 0, 3) în R3.

a) Dovada că ele sunt independente liniar.

b) Se dovedește că ele formează o bază în R3, deoarece orice triplă (x, y, z) poate fi scrisă ca o combinație liniară dintre V1, V2, V3.

c) Găsiți componentele triplei V = (-3, 5, 4) în baza V1, V2, V3 .

soluție

Criteriul de a demonstra independența liniară constă în stabilirea următorului set de ecuații în α, β și γ

a (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

În cazul în care singura soluție la acest sistem este α = β = γ = 0 atunci vectorii sunt liniar independenți, altfel nu sunt.

Pentru a obține valorile lui α, β și γ, propunem următorul sistem de ecuații:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Primul duce la α = 0, al doilea α = -2 β, dar ca α = 0 atunci β = 0. A treia ecuație implică faptul că γ = (- 1/3) β, dar ca β = 0 atunci γ = 0.

Răspundeți la

Se concluzionează că este un set de vectori liniar independenți în R3.

Răspuns b

Acum, să scriem triple (x, y, z) ca o combinație liniară de V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0,

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Unde aveți:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 y = z

Primul indică α = x, al doilea β = (yx) / 2 și al treilea γ = (z - și / 2 + x / 2) / 3. În acest fel am găsit generatoarele de α, β și γ ale oricărei triple a lui R³

Răspuns c

Să găsim componentele triplei V = (-3, 5, 4) în baza V1, V2, V3 .

Înlocuiți valorile corespunzătoare în expresiile găsite anterior pentru generatoare.

În acest caz avem: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4/5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Asta este:

(-3, 0, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0,

În cele din urmă:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concluzionăm că V1, V2, V3 formează o bază în spațiul vectorial R³ al dimensiunii 3.

-Exercitarea 2

Explicați polinomul P (t) = t² + 4t -3 ca o combinație liniară dintre P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t și P3 (t) = t + 3.

soluție

P (t) = x P1 (t) + și P2 (t) + z P3 (t)

unde numerele x, y, z trebuie determinate.

Prin multiplicarea și gruparea termenilor cu același grad în t veți obține:

t 2 + 4 t -3 = (x + 2y) t 2 + (-2x-3y + z) t + (5x + 3z)

Care ne conduce la următorul sistem de ecuații:

x + 2y = 1

-2x-3y + z = 4

5x + 3z = -3

Soluțiile acestui sistem de ecuații sunt:

x = -3, y = 2, z = 4.

Asta este:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Exercițiul 3

Arătați că vectorii v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) și v3 = (2, 1, -1, 1) din R4 sunt liniar independenți.

soluție

Combinăm linear cei trei vectori v1, v2, v3 și cerem ca combinația să adauge elementul nul al lui R4

o v1 + b v2 + c v3 = 0

Vreau să spun,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2,

Aceasta ne conduce la următorul sistem de ecuații:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a-c = 0

2 a + b + c = 0

Extragerea primului și a celui de-al patrulea avem: -a + c = 0 ceea ce implică a = c.

Dar dacă te uiți la cea de-a treia ecuație, avem a = -c. Singura modalitate de a obține a = c = (- c) este că c este 0 și prin urmare a va fi, de asemenea, 0.

a = c = 0

Dacă înlocuim acest rezultat în prima ecuație, vom concluziona că b = 0.

În cele din urmă a = b = c = 0, deci putem concluziona că vectorii v1, v2 și v3 sunt liniar independenți.