Transformata Fourier discretă: proprietăți, aplicații și exemple
Transformata discretă Fourier este o metodă numerică folosită pentru a defini mostre referitoare la frecvențele spectrale care alcătuiesc un semnal. Studiați funcțiile periodice în parametri închise, rezultând un alt semnal discret.
Pentru a obține transformarea discretă Fourier a punctelor N, pe un semnal discret, următoarele două condiții trebuie îndeplinite pe o secvență x [n]
x [n] = 0 n N - 1
Prin îndeplinirea acestor condiții, transformarea discretă Fourier poate fi definită ca
Transformarea discretă Fourier poate fi definită ca o eșantionare la punctele N ale transformării Fourier.
Interpretarea transformării discrete Fourier
Există 2 puncte de vedere din care puteți interpreta rezultatele obținute pe o secvență x s [n] prin transformarea discretă Fourier.
- Primul corespunde coeficienților spectrali, deja cunoscuți din seria Fourier. Se observă în semnale periodice discrete, probele coincis cu secvența x s [n].
-A doua se referă la spectrul unui semnal aperiodic discret, cu eșantioane corespunzătoare secvenței x s [n].
Transformarea discretă este o aproximare a spectrului semnalului analogic original. Faza sa depinde de timpii de prelevare, în timp ce mărimea acesteia depinde de intervalul de eșantionare.
proprietăţi
Fundamentele algebrice ale structurii formează bazele logice ale secțiunilor următoare.
liniaritate
C. S n → C. F [ Sk ]; Dacă o secvență este înmulțită cu un scalar, se va transforma și ea.
T n + V n = F [T k ] + F [V k ]; Transformarea unei sume este egală cu suma transformărilor.
dualitate
F [S n ] → (1 / N) S- k; Dacă o expresie transformată este recalculată de transformarea discretă Fourier, se obține aceeași expresie, scalarea în N și inversarea în raport cu axa verticală.
convoluție
Urmând obiective similare cu cele din transformarea Laplace, convoluția funcțiilor se referă la produsul dintre transformările lui Fourier. Convoluția se aplică, de asemenea, în vremuri discrete și este responsabilă pentru multe proceduri moderne.
Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; Transformarea unei convoluții este egală cu produsul transformărilor.
X n . Rn → F [ Xn ] * F [Rn]; Transformarea unui produs este egală cu convoluția transformărilor.
deplasare
X nm → F [ Xk ] e-i (2π / N) km; Dacă o secvență este întârziată în probele m, efectul său în transformarea discretă va fi o modificare a unghiului definit de (2π / N) km.
Simetria conjugată
Xt [-k] = X * t [k] = Xt [N-K]
modulare
W-nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
produs
x [n] și [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
simetrie
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
conjuga
x * [n] ↔ X * t [-k]
Ecuația parsevalului
Asemănări și diferențe cu transformarea Fourier
În ceea ce privește transformarea convențională Fourier, ea are mai multe asemănări și diferențe. Transformarea Fourier transformă o secvență într-o linie continuă. În acest fel se spune că rezultatul variabilei Fourier este o funcție complexă a unei variabile reale.
Transformarea discretă Fourier, în schimb, primește un semnal discret și o transformă într-un alt semnal discret, adică o secvență.
Pentru ce este transformata discret Fourier?
Ele servesc, în principal, pentru a simplifica foarte mult ecuațiile, transformând expresiile derivate în elemente de putere. Denotarea expresiilor diferențiale în forme de polinoame integrabile.
În optimizare, modelarea și modelarea rezultatelor acționează ca o expresie standardizată, fiind o resursă frecventă pentru inginerie după mai multe generații.
istorie
Acest concept matematic a fost prezentat de către Joseph B. Fourier în anul 1811, elaborând în același timp un tratat privind propagarea căldurii. A fost adoptat rapid de diverse ramuri ale științei și ingineriei.
A fost stabilită ca instrument principal de lucru în studiul ecuațiilor diferențiale parțiale, chiar comparând relația de lucru dintre transformarea Laplace și ecuațiile diferențiale obișnuite.
Orice funcție care poate fi procesată cu transformarea Fourier trebuie să aibă nulitate în afara unui parametru definit.
Fourier transformată discret și invers
Transformarea discretă se obține prin expresia:
După ce a dat o secvență discretă X [n]
Inversa transformării discrete Fourier este definită de expresia:
Odată ce transformarea discretă a fost realizată, definiți secvența în domeniul timpului X [n].
I ferestre
Procesul de parametrizare corespunzător transformării discrete Fourier constă în fereastra. Pentru a transforma transformarea, trebuie să limităm secvența în timp. În multe cazuri semnalele în cauză nu au astfel de limitări.
O secvență care nu îndeplinește criteriile de mărime pentru a aplica transformării discrete poate fi înmulțită cu o funcție "fereastră" V [n], definind comportamentul secvenței într-un parametru controlat.
X [n] V [n]
Lățimea spectrului va depinde de lățimea ferestrei. Pe măsură ce lățimea ferestrei crește, transformarea calculată va fi mai restrânsă.
aplicații
Calculul soluției fundamentale
Transformarea discretă Fourier este un instrument puternic în studierea secvențelor discrete.
Transformata discretă Fourier transformă o funcție variabilă continuă într-o transformare variabilă discretă.
Problema Cauchy pentru ecuația de căldură prezintă un domeniu comun de aplicare a transformării discrete Fourier . În cazul în care se generează funcția de bază de căldură sau nucleul lui Dirichlet, care se aplică valorii eșantionului într-un parametru definit.
Teoria semnalului
Motivul general al aplicării transformării discrete Fourier în această ramificație se datorează în principal descompunerii caracteristice a unui semnal ca suprapunere infinită a semnalelor mai ușor tratabile.
Poate fi un val sonor sau un val electromagnetic, transformarea discretă Fourier exprimă o suprapunere a undelor simple. Această reprezentare este destul de frecventă în ingineria electrică.
Seria Fourier
Acestea sunt serii definite în termeni de Cosines și Breasts. Ele servesc pentru a facilita munca cu funcții periodice generale. Când sunt aplicate, ele fac parte din tehnicile de rezolvare a ecuațiilor diferențiale parțiale și obișnuite.
Seria Fourier este chiar mai generală decât seria Taylor, deoarece dezvoltă funcții periodice discontinue care nu au reprezentare în seria Taylor.
Alte forme ale seriei Fourier
Pentru a înțelege analitic transformarea Fourier, este important să examinăm celelalte moduri în care se poate găsi seria Fourier, până când putem defini seria Fourier în notația complexă.
- serii Fourier pe o funcție de perioadă de 2L:
De multe ori este necesar să se adapteze structura unei serii Fourier, la funcții periodice a căror perioadă este p = 2L> 0 în intervalul [-L, L].
- Seria Fourier în funcții ciudate și uniforme
Este considerat intervalul [-π, π], care oferă avantaje atunci când profită de caracteristicile simetrice ale funcțiilor.
Dacă f este egal, seria Fourier este stabilită ca o serie de Cosines.
Dacă f este ciudat, seria Fourier este stabilită ca o serie de Sines.
- Completați notația seriei Fourier
Dacă aveți o funcție f (t), care îndeplinește toate cerințele seriei Fourier, este posibil să o denotăm în intervalul [-t, t] folosind notația complexă:
Exemple
În ceea ce privește calculul soluției fundamentale, sunt prezentate următoarele exemple:
Ecuația lui Laplace
Ecuația căldurii
Schrödinger
Ecuația valurilor
Pe de altă parte, sunt exemple de aplicare a transformării discrete Fourier în domeniul teoriei semnalului următoarele:
-Probele de identificare a sistemului. Înființată fyg
-Problem cu consistența semnalului de ieșire
-Probleme cu filtrarea semnalului
pregătire
Exercițiul 1
Calculați transformarea Fourier discretă pentru următoarea secvență.
Puteți defini TDF de x [n] ca:
X t [k] = {4, -j2, 0, j2} pentru k = 0, 1, 2, 3
Exercițiul 2
Vrem să determinăm, printr-un algoritm digital, semnalul spectral definit de expresia x (t) = et. În cazul în care coeficientul maxim care solicită frecvența este f m = 1Hz. O armonică corespunde f = 0, 3 Hz. Eroarea este limitată la mai puțin de 5%. Calculați f s, D și N.
Luând în considerare teorema de eșantionare f s = 2f m = 2 Hz
Se alege o rezoluție de frecvență de f 0 = 0, 1 Hz, din care obținem D = 1 / 0, 1 = 10s
0.3 Hz este frecvența corespunzătoare indexului k = 3, unde N = 3 × 8 = 24 de probe. Indică faptul că f s = N / D = 24/10 = 2, 4> 2
Deoarece obiectivul este de a obține cea mai mică valoare posibilă pentru N, următoarele valori pot fi considerate ca o soluție:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0, 3 = 3, 33s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
