Produse notabile: explicații și exerciții rezolvate
Produsele remarcabile sunt operații algebrice, în care se exprimă multiplicări de polinoame, care nu trebuie rezolvate în mod tradițional, dar cu ajutorul anumitor reguli le puteți găsi rezultatele.
Polinomii sunt multiplicați de ei înșiși, prin urmare pot avea un număr mare de termeni și variabile. Pentru a face procesul să fie mai scurt, se folosesc regulile produselor notabile, care permit multiplicări fără a fi nevoie de termen.
Produse și exemple notabile
Fiecare produs remarcabil este o formulă care rezultă dintr-o factorizare, compusă din polinoame de termeni diferiți, cum ar fi binomiali sau trinomiali, numiți factori.
Factorii sunt baza unei puteri și au un exponent. Când factorii se înmulțesc, exponenții trebuie adăugați.
Există mai multe formule remarcabile de produse, unele sunt mai utilizate decât altele, în funcție de polinoame și sunt următoarele:
Binomial pătrat
Este înmulțirea unui binomial în sine, exprimată sub forma puterii, în care termenii se adaugă sau se scad:
a. Suma binomială: este egală cu pătratul primului termen, plus dublul produsului termenilor, plus pătratul celui de-al doilea termen. Se exprimă după cum urmează:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Figura următoare arată modul în care produsul este dezvoltat în conformitate cu regula menționată mai sus. Rezultatul este numit trinomial al unui pătrat perfect.
Exemplul 1
(x + 5) 2 = x 2 + 2 (x * 5) + 5 2
(x + 5) 2 = x 2 + 2 (5x) + 25
(x + 5) 2 = x 2 + 10x + 25.
Exemplul 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Binomul unei scăderi la pătrat: se aplică aceeași regulă a binomului unei sume, numai că în acest caz al doilea termen este negativ. Formula sa este următoarea:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Exemplul 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Produs de binomiali conjugați
Două binomiuri sunt conjugate atunci când al doilea termen al fiecăruia este de semne diferite, adică primul este pozitiv și cel de-al doilea negativ sau invers. Rezolvați prin ridicarea fiecărei pătrate monomice și scăzând. Formula sa este următoarea:
(a + b) * (a - b)
În figura următoare este produs produsul a două binomiale conjugate, unde se observă că rezultatul este o diferență de pătrate.
Exemplul 1
(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Produs de două binomiale cu un termen comun
Este unul dintre cele mai complexe și puțin utilizate produse remarcabile, deoarece este o multiplicare de două binomiale care au un termen comun. Regula indică următoarele:
- Pătratul termenului comun.
- Plus adăugați termenii care nu sunt obișnuiți și apoi înmulțiți-i cu termenul comun.
- Plus suma de multiplicare a termenilor care nu sunt obisnuiti.
Este reprezentată în formula: (x + a) * (x + b) și este dezvoltată așa cum se arată în imagine. Rezultatul este un trinomial patrat, nu perfect.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 x 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Există posibilitatea ca al doilea termen (termenul diferit) să fie negativ, iar formula lui să fie următoarea: (x + a) * (x - b).
Exemplul 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x +
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
De asemenea, poate fi cazul ca ambii termeni diferiți să fie negativi. Formula lui va fi: (x - a) * (x - b).
Exemplul 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Polinomul pătrat
În acest caz, există mai mult de doi termeni și să-l dezvolte, fiecare dintre ele fiind pătrat și adăugat împreună cu dubla multiplicare a unui termen cu altul; formula sa este: (a + b + c) 2 iar rezultatul operației este un trinomial pătrat.
Exemplul 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial la cub
Este un produs remarcabil complex. Pentru ao dezvolta, înmulțiți binomul cu pătratul său, în felul următor:
a. Pentru binomul la cubul unei sume:
- Cubul primului termen plus triplul pătratului primului termen de către al doilea.
- Plus triplul primului termen, de la al doilea pătrat.
- Plus cubul celui de-al doilea termen.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Exemplul 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 +
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9)
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Pentru binomul cu cubul unei scăderi:
- Cubul primului termen, mai puțin triplul pătratului primului termen de către al doilea.
- Plus triplul primului termen, de la al doilea pătrat.
- Mai puțin cubul celui de-al doilea termen.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Exemplul 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 +
(b-5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25)
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Cupa unui trinomial
Se dezvoltă prin înmulțirea cu pătratul. Este un produs remarcabil foarte extins, deoarece există 3 termeni ridicați la cub, plus de trei ori fiecare termen pe pătrat, înmulțit cu fiecare dintre termeni, plus șase ori produsul celor trei termeni. Văzut într-un mod mai bun:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Exemplul 1
S-au rezolvat exerciții de produse remarcabile
Exercițiul 1
Dezvoltați următoarea binomă pe cub: (4x - 6) 3.
soluție
Amintindu-ne că un binomial cu cubul este egal cu primul termen ridicat la cub, mai puțin triplea pătratului primului termen cu cel de-al doilea; plus triplul primului termen, cu al doilea pătrat, minus cubul celui de-al doilea termen.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x)
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Exercițiul 2
Elaborați următoarea binomă: (x + 3) (x + 8).
soluție
Există un binomial în care există un termen comun, care este x, iar al doilea termen este pozitiv. Pentru ao dezvolta, trebuie doar să pătrundem termenul comun, plus suma termenilor care nu sunt obișnuiți (3 și 8) și apoi să îi înmulțim cu termenul comun, plus suma multiplicării termenilor care nu sunt obișnuiți.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 x 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
