Parallelepiped: caracteristici, tipuri, zonă, volum

Un paralelipiped este un corp geometric format din șase chipuri, a cărui caracteristică principală este că toate fețele lor sunt paralele, iar fețele lor opuse sunt paralele una cu cealaltă. Este un poliedent comun în viața noastră de zi cu zi, deoarece îl găsim în cutii de încălțăminte, forma unei cărămizi, forma unui cuptor cu microunde etc.

Fiind un polyhedron, paralelipipedul acoperă un volum finit și toate fețele sunt plane. Ea face parte din grupul de prisme, care sunt acele polyhedra în care toate vârfurile lor sunt cuprinse în două planuri paralele.

Elemente ale paralelipipedului

Caras

Acestea sunt fiecare dintre regiunile formate de paralelograme care limitează paralelipipedul. Un paralelipiped are șase chipuri, fiecare față având patru fețe adiacente și unul opus. În plus, fiecare față este paralelă cu opusul său.

Aristas

Ele sunt partea comună a două fețe. În total, un paralelipiped are douăsprezece margini.

zenit

Este punctul obișnuit al celor trei fețe care sunt adiacente unul la altul două până la două. Un paralelipiped are opt vârfuri.

diagonală

Având în vedere două laturi opuse ale unui paralelipiped, putem trage un segment de linie care merge de la vârful unei fețe la vârful opus al celuilalt.

Acest segment este cunoscut ca diagonala paralelipipedului. Fiecare paralelipiped are patru diagonale.

centru

Este punctul în care se intersectează toate diagonalele.

Caracteristicile paralelipipedului

După cum am menționat, acest corp geometric are douăsprezece margini, șase fețe și opt vârfuri.

Într-un paralelipiped puteți identifica trei seturi formate de patru margini, care sunt paralele între ele. În plus, marginile acestor seturi îndeplinesc, de asemenea, proprietatea de a avea aceeași lungime.

O altă proprietate pe care o au paralelipipedele este aceea că ele sunt convexe, adică dacă luăm orice pereche de puncte care aparțin interiorului paralelipipedului, segmentul determinat de perechea de puncte va fi, de asemenea, în interiorul paralelipipedului.

În plus, paralelipipedele fiind polyhedra convexă sunt conforme cu teorema Euler pentru polyhedra, care ne dă o relație între numărul de fețe, numărul de muchii și numărul de vârfuri. Această relație este dată sub forma următoarei ecuații:

C + V = A + 2

Această caracteristică este cunoscută ca caracteristica lui Euler.

Unde C este numărul de fețe, V numărul de vârfuri și A numărul de margini.

tip

Putem clasifica paralelipipede bazate pe fețele lor, în următoarele tipuri:

cuboid

Acestea sunt paralelipipedele în care fețele lor sunt formate din șase dreptunghiuri. Fiecare dreptunghi este perpendicular pe cele pe care le împărtășește. Acestea sunt cele mai frecvente în viața noastră de zi cu zi fiind acest mod obișnuit de cutii de încălțăminte și cărămizi.

Cubul sau hexaedrul obișnuit

Acesta este un caz particular al celui anterior, în care fiecare dintre fețe este un pătrat.

Cubul este, de asemenea, o parte a corpurilor geometrice numite solide platonice. Un solid platonic este un polyhedron convex, astfel încât atât fețele cât și unghiurile sale interne să fie egale unul cu celălalt.

romboedro

Este un paralelipiped cu diamante pe față. Aceste diamante sunt toate egale una cu cealaltă, deoarece împărtășesc marginile.

Romboiedro

Cele șase fețe ale sale sunt romboide. Reamintim că un romboid este un poligon cu patru laturi și patru unghiuri care sunt egale cu două până la două. Radomboizii sunt paralele, care nu sunt nici pătrat, nici dreptunghiuri, nici romburi.

Pe de altă parte, paralelipipedele oblice sunt cele în care cel puțin o înălțime nu este de acord cu marginea sa. În această clasificare putem include rhombohedronii și rhombohedronii.

Calcule diagonale

Pentru a calcula diagonala unui orthoedron putem folosi teorema lui Pythagorean pentru R3.

Amintiți-vă că un orthohedron are caracteristica că fiecare parte este perpendiculară cu laturile care împart marginea. Din acest fapt putem deduce că fiecare margine este perpendiculară pe cele care împart vârful.

Pentru a calcula lungimea unei diagonale a unui orthoedron procedăm după cum urmează:

1. Calculam diagonala uneia dintre fețe, pe care o vom baza. Pentru aceasta folosim teorema lui Pitagora. Denumiți această diagonală d _b .

2. Apoi, cu d _b putem forma un nou triunghi drept, astfel încât hypotenuse a acelui triunghi este diagonala D căutată.

3. Noi folosim din nou teorema lui Pitagora și avem lungimea diagonalei:

O altă modalitate de a calcula diagonalele într-un mod mai grafic este cu suma vectorilor liberi.

Rețineți că doi vectori liberi A și B sunt adăugați prin plasarea coadă a vectorului B cu vârful vectorului A.

Vectorul (A + B) este cel care începe la coada lui A și se termină la vârful lui B.

Luați în considerare un paralelipiped la care vrem să calculam o diagonală.

Identificăm marginile cu vectori orientați în mod convenabil.

Apoi adăugăm acești vectori și vectorul rezultat va fi diagonala paralelipipedului.

zonă

Suprafața unui paralelipiped este dată de suma fiecăruia dintre zonele fețelor lor.

Dacă determinăm una din laturi ca bază,

A _L + 2A _B = Suprafața totală

Unde _{L L} este egal cu suma zonelor tuturor laturilor adiacente bazei, numita arie laterala si A _B este aria bazei.

În funcție de tipul de paralelipiped cu care lucrăm, putem rescrie formula.

Zona ortohedronului

Este dat de formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplul 1

Având în vedere ortoedronul următor, cu laturile a = 6 cm, b = 8 cm și c = 10 cm, se calculează suprafața paralelipipedului și lungimea diagonalei acestuia.

Folosind formula pentru zona unui orthoedron, trebuie să

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Rețineți că, deoarece este un ortoedron, lungimea uneia dintre cele patru diagonale este aceeași.

Folosind teorema lui Pythagorean pentru spațiu trebuie să

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Zona unui cub

Deoarece fiecare margine are aceeași lungime, avem a = bya = c. Înlocuim în formula anterioară pe care o avem

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

Exemplul 2

Caseta unei console de jocuri are forma unui cub. Dacă vrem să înfășurăm această cutie cu hârtie de cadou, cât de mult ar fi hârtia pe care o vom petrece, știind că lungimea marginilor cubului este de 45 cm?

Folosind formula din zona cubului, obținem asta

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Zona de rhombohedron

Deoarece toate fețele lor sunt egale, este suficient să se calculeze suprafața unuia dintre ele și să se înmulțească cu șase.

Putem calcula suprafața unui diamant folosind diagonalele sale cu următoarea formulă

A _R = (Dd) / 2

Folosind această formulă rezultă că suprafața totală a rhombohedronului este

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemplul 3

Fețele următorului rhombohedron sunt formate dintr-un romb ale cărui diagonale sunt D = 7 cm și d = 4 cm. Zona ta va fi

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Zona de romb

Pentru a calcula suprafața unui rombic, trebuie să calculam suprafața romboidelor care o compun. Deoarece paralelipipedele respectă proprietatea că părțile opuse au aceeași zonă, putem asocia laturile în trei perechi.

În felul ăsta avem că zona ta va fi

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

În cazul în care b _i sunt bazele asociate laturilor și h _i înălțimea lor relativă corespunzătoare respectivelor baze.

Exemplul 4

Luați în considerare următorul paralelipiped,

unde partea A și partea A '(partea opusă) au ca bază b = 10 și pentru înălțimea h = 6. Zona marcată va avea o valoare de

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B și B 'au b = 4 și h = 6, atunci

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC și C 'au b = 10 și h = 5, deci

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

În cele din urmă, zona rhombohedronului este

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumul unui paralelipiped

Formula care ne dă volumul unui paralelipiped este produsul zonei uneia dintre fețele sale de înălțimea corespunzătoare acelei fețe.

V = A _C h _C

În funcție de tipul de paralelipiped, formula menționată poate fi simplificată.

Așadar avem de exemplu că volumul unui orthohedron ar fi dat de

V = abc.

Unde a, b și c reprezintă lungimea marginilor ortoedronului.

Și în cazul particular al cubului este

V = a3

Exemplul 1

Există trei modele diferite pentru cutii de cookie-uri și doriți să aflați în care dintre aceste modele puteți stoca mai multe cookie-uri, adică care dintre cutiile are un volum mai mare.

Primul este un cub a cărui margine are o lungime de a = 10 cm

Volumul său va fi V = 1000 cm3

Al doilea are margini b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Prin urmare, volumul său este V = 765 cm3

Și al treilea are e = 9 cm, f = 9 cm și g = 13 cm

Și volumul său este V = 1053 cm3

Prin urmare, caseta cu cel mai mare volum este cea de-a treia.

O altă metodă de a obține volumul unui paralelipiped este de a recurge la algebra vectorială. În special, produsul triplu scalar.

Una dintre interpretările geometrice care are produsul triplu scalar este aceea a volumului paralelipipedului, ale cărui margini sunt trei vectori care au același vârf ca punct de plecare.

În acest fel, dacă avem un paralelipiped și vrem să știm ce volum este, este suficient să îl reprezentăm într-un sistem de coordonate în R3 prin potrivirea unuia dintre vârfurile sale cu originea.

Atunci reprezentăm marginile care concurează la origine cu vectorii așa cum se arată în figură.

Și în acest fel avem ca volumul respectivului paralelipiped să fie dat de

V = | AxB ∙ C |

Sau echivalentul este volumul determinant al matricei 3 × 3, formată de componentele vectorilor margini.

Exemplul 2

Prin reprezentarea următorului paralelipiped în R3 putem vedea că vectorii care îl determină sunt următorii

u = (-1, -3, 0), v = (5, 0, 0) și w = (-0, 25, -4, 4)

Folosind produsul triplu scalar pe care îl avem

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3, 0) x (5, 0, 0) = (0, 015)

(uxv) ∙ w = (0, 0, - 15) ∙ (-0, 25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Din aceasta concluzionăm că V = 60

Acum, luați în considerare următorul paralelipiped în R3 a cărui margini sunt determinate de vectori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) și C = (3, 4)

Folosind determinanții ne dă asta

Deci, avem ca volumul paralelipipedului menționat este de 112.

Ambele sunt metode echivalente de calcul al volumului.

Paralelipiped perfectă

Este cunoscut ca cărămida lui Euler (sau blocul lui Euler) pentru un orthohedron care îndeplinește proprietatea că atât lungimea marginilor, cât și lungimea diagonalelor fiecărei fețe sunt numere întregi.

Deși Euler nu a fost primul om de știință care să studieze orthohedronele care îndeplinesc acea proprietate, el a găsit rezultate interesante despre ele.

Cea mai mică cărămidă Euler a fost descoperită de Paul Halcke, iar lungimile marginilor sale sunt a = 44, b = 117 și c = 240.

O problemă deschisă în teoria numerelor este următoarea

Există ortoedre perfecte?

În prezent, nu se poate răspunde la această întrebare, deoarece nu a fost posibil să se demonstreze că aceste organisme nu există, dar nici unul nu a fost găsit.

Ce sa arătat până acum este că există paralelipipede perfecte. Primul care va fi descoperit are lungimea marginilor sale valorile 103, 106 și 271.

bibliografie

1. Guy, R. (1981). Probleme nerezolvate în teoria numerelor. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progresul.
3. Leithold, L. (1992). CALCULAREA cu geometrie analitică. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Desen tehnic: Cartea de activitate 3 a 2-a bacalaureat. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. și Krane, K. (2001). Fizica Vol. 1. Mexic: Continental.