Transformarea Laplace: definiție, istorie, ce este pentru, proprietăți

Transformarea lui Laplace a fost în ultimii ani de mare importanță în studiile de inginerie, matematică, fizică, printre alte domenii științifice, deoarece, în afară de faptul că este de mare interes în teoretică, oferă o cale simplă de a rezolva problemele care provin din științele și ingineria.

Inițial, transformarea lui Laplace a fost prezentată de Pierre-Simon Laplace în studiul său al teoriei probabilității și a fost inițial tratată ca un obiect matematic de interes pur teoretic.

Aplicațiile curente apar atunci când diferiți matematicieni au încercat să ofere o justificare oficială "regulilor operaționale" folosite de Heaviside în studiul ecuațiilor din teoria electromagnetică.

definiție

Fie f o funcție definită pentru t ≥ 0. Transformația Laplace este definită după cum urmează:

Se spune că transformarea Laplace există dacă convergența precedentă converge, altfel se spune că transformarea Laplace nu există.

În general, pentru a desemna funcția pe care cineva dorește să o transforme, se utilizează litere mici, iar litera majusculă corespunde transformării sale. În acest fel vom avea:

Exemple

Considerăm funcția constantă f (t) = 1. Avem că transformarea ei este:

Ori de câte ori integrala converge, aceasta este întotdeauna prevăzută cu s> 0. În caz contrar, s <0, integralele divergente.

Fie g (t) = t. Transformarea Laplace este dată de

Atunci când se integrează prin părți și se știe că te-st tinde la 0 atunci când t tinde spre infinit și s> 0, împreună cu exemplul anterior avem:

Transformarea poate sau nu să existe, de exemplu pentru funcția f (t) = 1 / t integralele care definesc transformarea lui Laplace nu converge și, prin urmare, transformarea lui nu există.

Condițiile suficiente pentru a garanta existența transformării Laplace a unei funcții f, este că f este continuă în părți pentru t ≥ 0 și este de ordin exponențial.

Se spune că o funcție este continuă de părți pentru t ≥ 0, atunci când pentru orice interval [a, b] cu un> 0, există un număr finit de puncte t _k, unde f are discontinuități și este continuă în fiecare subinterval [t _k-1, t _k ].

Pe de altă parte, se spune că o funcție este de ordin exponențial c dacă există constante reale M> 0, c și T> 0 astfel încât:

Ca exemple avem că f (t) = t2 este de ordin exponențial, deoarece | t2 | <e3t pentru toate t> 0.

În mod oficial avem următoarea teoremă

Teorema (condiții suficiente pentru existență)

Dacă f este o funcție continuă pe parte pentru t> 0 și pentru ordinul exponențial c, atunci există transformarea Laplace pentru s> c.

Este important să subliniem faptul că aceasta este o condiție a suficienței, adică ar putea fi cazul dacă există o funcție care nu îndeplinește aceste condiții și chiar și atunci există transformarea lui Laplace.

Un exemplu de acest lucru este funcția f (t) = t-1/2 care nu este continuă în părți pentru t ≥ 0 dar există transformarea lui Laplace.

Transformarea Laplace a unor funcții de bază

Următorul tabel prezintă transformările Laplace ale celor mai comune funcții.

istorie

Transformarea lui Laplace își datorează numele lui Pierre-Simon Laplace, matematician și astronom astronom francez care sa născut în 1749 și a murit în 1827. Faima lui era așa de cunoscută ca Newton-ul Franței.

În 1744 Leonard Euler și-a dedicat studiile integralelor cu formularul

ca soluții ale ecuațiilor diferențiale obișnuite, dar au abandonat rapid această investigație. Mai târziu, Joseph Louis Lagrange, care a admirat cu mult Euler, a investigat de asemenea acest tip de integrale și le-a asociat cu teoria probabilității.

1782, Laplace

În 1782, Laplace a început să studieze aceste integrale ca soluții pentru ecuațiile diferențiale și, conform istoricilor, în 1785 a hotărât să reformuleze problema, care ulterior a dat naștere transformărilor Laplace așa cum sunt înțelese astăzi.

După ce a fost introdus în domeniul teoriei probabilității, a fost puțin interesat de oamenii de știință ai timpului și a fost văzut doar ca un obiect matematic de interes teoretic.

Oliver Heaviside

La mijlocul secolului al XIX-lea, inginerul englez Oliver Heaviside a descoperit că operatorii diferențiali pot fi tratați ca variabile algebrice, dând astfel aplicația lor modernă transformărilor Laplace.

Oliver Heaviside a fost un fizician englez, inginer electric și matematician care sa născut în 1850 la Londra și a murit în 1925. În timp ce încerca să rezolve problemele ecuațiilor diferențiale aplicate teoriei vibrațiilor și folosind studiile lui Laplace, a început să modeleze aplicații moderne ale transformărilor Laplace.

Rezultatele expuse de Heaviside s-au răspândit rapid în întreaga comunitate științifică a timpului, însă, deoarece munca sa neîngrădită a fost rapid criticată de mai mulți matematicieni tradiționali.

Cu toate acestea, utilitatea muncii lui Heaviside în rezolvarea ecuațiilor fizicii a făcut metodele sale populare printre fizicieni și ingineri.

În ciuda acestor eșecuri și după câteva decenii de încercări eșuate, la începutul secolului XX ar fi putut fi acordată o justificare riguroasă regulilor operaționale date de Heaviside.

Aceste încercări au fost plătite datorită eforturilor diferitelor matematicieni precum Bromwich, Carson, van der Pol, printre altele.

proprietăţi

Printre proprietățile transformării Laplace se numără următoarele:

liniaritate

Fie c1 și c2 funcții constante și funcții f (t) și g (t) ale căror transformări Laplace sunt F (s) și G (s), atunci trebuie să:

Datorită acestei proprietăți se spune că transformarea Laplace este un operator liniar.

exemplu

Prima teoremă de traducere

Dacă se întâmplă că:

Și "a" este un număr real, atunci:

exemplu

Deoarece transformarea Laplace a cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) atunci:

A doua teoremă de traducere

dacă

atunci

exemplu

Dacă f (t) = t ^ 3, atunci F (s) = 6 / s ^ 4. Și, prin urmare, transformarea lui

este G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Schimbarea scării

dacă

Și "a" este un real non-zero, trebuie să

exemplu

Deoarece transformarea f (t) = sin (t) este F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) trebuie să fie

transformarea Laplace a derivatelor

Dacă f, f ', f ", ..., f (n) sunt continuu pentru t ≥ 0 și sunt de ordin exponențial iar f (n) (t) este continuu în părți pentru t ≥ 0,

Transformarea Laplace a integralelor

dacă

atunci

Înmulțirea cu tn

Dacă trebuie

atunci

Divizarea de către t

Dacă trebuie

atunci

Funcții periodice

Fie f o functie periodica cu perioada T> 0, adica f (t + T) = f (t), atunci

Comportamentul lui F (s) atunci când s tinde spre infinit

Dacă f este continuă în părți și de ordin exponențial și

atunci

Transformări inverse

Când aplicăm transformarea Laplace la o funcție f (t) obținem F (s), care reprezintă transformarea. În același mod se poate spune că f (t) este transformarea inversă Laplace a lui F (s) și este scrisă ca

Știm că transformările lui Laplace de f (t) = 1 și g (t) = t sunt F (s) = 1 / s și G (s) = 1 / s2.

Unele transformări comune Laplace inversate sunt după cum urmează

În plus, transformarea inversă Laplace este liniară, adică este îndeplinită

exercițiu

găsi

Pentru a rezolva acest exercițiu trebuie să se potrivească funcția F (s) cu unul din tabelul precedent. În acest caz, dacă luăm un + 1 = 5 și folosind proprietatea de liniaritate a transformării inverse, se înmulțește și se împarte cu 4! obtinerea

Pentru cea de-a doua transformare inversă vom aplica fracții parțiale pentru a rescrie funcția F (s) și apoi proprietatea liniarității, obținând

După cum putem vedea din aceste exemple, este comun că funcția F (s) care este evaluată nu este de acord exact cu oricare dintre funcțiile date în tabel. În aceste cazuri, după cum se observă, este suficient să rescrieți funcția până când ajungeți la forma corespunzătoare.

Aplicațiile transformării Laplace

Ecuații diferențiale

Principala aplicație a transformărilor Laplace este de a rezolva ecuații diferențiale.

Folosind proprietatea transformării unui derivat este clar că

Și a derivatelor n-1 evaluate la t = 0.

Această proprietate face transformarea foarte utilă pentru rezolvarea problemelor de valoare inițială în care sunt implicate ecuații diferențiale cu coeficienți constanți.

Următoarele exemple ilustrează modul de utilizare a transformării Laplace pentru a rezolva ecuațiile diferențiale.

Exemplul 1

Având în vedere următoarea problemă cu valoarea inițială

Utilizați transformatorul Laplace pentru a găsi soluția.

Aplicăm transformarea Laplace la fiecare membru al ecuației diferențiale

Pentru proprietatea transformării unui derivat pe care îl avem

Dezvoltând toată expresia și curățirea Și am rămas

Folosind fracții parțiale pentru a rescrie partea dreaptă a ecuației pe care o obținem

În final, scopul nostru este să găsim o funcție y (t) care să satisfacă ecuația diferențială. Folosind transformarea inversă Laplace ne dăm rezultatul

Exemplul 2

rezolva

Ca și în cazul precedent, aplicăm transformarea pe ambele părți ale ecuației și termenul separat pe termen.

În acest fel avem ca rezultat

Înlocuirea cu valorile inițiale date și compensarea Y (s)

Folosind fracțiuni simple, putem rescrie ecuația după cum urmează

Aplicarea transformării inverse a lui Laplace ne dă drept rezultat

În aceste exemple se poate ajunge la concluzia greșită că această metodă nu este mult mai bună decât metodele tradiționale de rezolvare a ecuațiilor diferențiale.

Avantajele oferite de transformarea Laplace sunt că nu este necesar să se folosească variația parametrilor sau îngrijorarea cu privire la diferitele cazuri ale metodei coeficientului nedeterminat.

Pe lângă rezolvarea problemelor de valoare inițială prin această metodă, de la început folosim condițiile inițiale, deci nu este necesar să efectuăm alte calcule pentru găsirea soluției particulare.

Sisteme diferențiale de ecuații

Transformarea Laplace poate fi de asemenea utilizată pentru a găsi soluții la ecuațiile diferențiale obișnuite simultane, după cum arată următorul exemplu.

exemplu

rezolva

Cu condițiile inițiale x (0) = 8 ey (0) = 3.

Dacă trebuie

atunci

Rezolvarea rezultatelor în noi

Și când aplicăm transformarea inversă Laplace, avem

Mecanica si circuitele electrice

Transformarea Laplace este de mare importanță în fizică, având în principal aplicații pentru mecanică și circuite electrice.

Un circuit electric simplu este compus din următoarele elemente

Un comutator, o baterie sau o sursă, o inductor, un rezistor și un condensator. Când întrerupătorul este închis, se produce un curent electric care este notat cu i (t). Încărcarea condensatorului este notată cu q (t).

Prin a doua lege a lui Kirchhoff, tensiunea produsă de sursa E circuitului închis trebuie să fie egală cu suma fiecărei picături de tensiune.

Curentul electric i (t) este legat de sarcina q (t) din condensator prin i = dq / dt. Pe de altă parte, căderea de tensiune este definită în fiecare dintre elementele după cum urmează:

Căderea de tensiune la un rezistor este iR = R (dq / dt)

Căderea de tensiune în inductor este L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Căderea de tensiune într-un condensator este q / C

Cu aceste date și aplicarea celei de-a doua lege Kirchhoff circuitului simplu închis, se obține o ecuație diferențială de ordinul doi care descrie sistemul și ne permite să determinăm valoarea lui q (t).

exemplu

Un inductor, un condensator și un rezistor sunt conectate la o baterie E, așa cum se arată în figură. Inductorul este de 2 henry, condensatorul de 0, 02 farads și rezistența de 16 onhm. La momentul t = 0 circuitul este închis. Găsiți sarcina și curentul în orice moment t> 0 dacă E = 300 volți.