Green teorema, demonstrații, aplicații și exerciții rezolvate

Teorema lui Green este o metodă de calcul utilizată pentru a lega integralele liniei cu suprafețe duble sau integrale de suprafață. Funcțiile implicate trebuie să fie notate ca câmpuri vectoriale și definite în traiectoria C.

De exemplu, o expresie integrală de linie poate fi foarte complicată pentru a rezolva; cu toate acestea, prin implementarea teoremei lui Green, integralele duble devin destul de fundamentale. Este întotdeauna important să se respecte direcția pozitivă a traiectoriei, aceasta se referă la direcția anti-orar.

Teorema lui Green este un caz particular al teoremei Stokes, unde proiecția funcției vectoriale este realizată în planul xx.

definiție

Expresia teoremei lui Green este următoarea:

În primul termen, se observă integrarea liniară definită de calea "C" a produsului scalar între funcția vectorială "F" și cea a vectorului "r".

C: Este calea definită pe care va fi proiectată funcția vectori atâta timp cât este definită pentru acest plan.

F: Funcția Vector, în care fiecare componentă este definită de o funcție ca atare (f, g).

A: Este un vector tangent la regiunea R pe care este definit integrale. În acest caz, operăm cu un diferențial al acestui vector.

În al doilea termen vom vedea teorema lui Green dezvoltată, unde observăm integralele duble definite în regiunea R a diferenței derivatelor parțiale ale gyf, în raport cu axa și, respectiv, y. Pentru un diferențial de zonă care nu este mai mult decât produsul ambelor diferențiale bidimensionale (dx.dy).

Această teoremă este perfect aplicabilă integrării spațiului și suprafeței.

spectacol

Pentru a demonstra teorema lui Green într-un mod simplu, această sarcină va fi împărțită în două părți. Mai întâi vom presupune că funcția vectorului F are numai o definiție în verso i. În timp ce funcția "g" corespunzătoare versorului j va fi egală cu zero.

F = f (x, y) + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = xi + y j

dr = dx i + dy j

Mai întâi am dezvoltat integrarea liniară pe traiectoria C, pentru care traiectoria a fost secționată în două secțiuni care merg mai întâi de la a la b și apoi de la b la a.

Se aplică definiția teoremei fundamentale a calculului pentru un integral definit.

Expresia este reordonată într-un singur integral, devine un factor comun al negativului și ordinea factorilor este inversată.

Atunci când observăm această expresie în detaliu, devine evident că atunci când se aplică criteriile funcției primitive, se află în prezența integralului expresiei derivate a f în raport cu y. Evaluat în parametri

Acum este suficient să presupunem că funcția vectorului F este definită doar pentru g (x, y) j . În cazul în care operează într-o manieră similară cu cea a cazului precedent, primiți:

Pentru a termina, luați cele 2 demonstrații și alăturați-vă în cazul în care funcția vectorie are valori pentru ambele versuri. În acest fel, este prezentat ca integrat liniar după ce a fost definit și considerat ca o traiectorie unidimensională, poate fi dezvoltat complet pentru plan și spațiu.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

În acest fel, teorema lui Green este dovedită.

aplicații

Aplicațiile teoremei lui Green sunt extinse în ramurile fizicii și matematicii. Acestea se extind la orice aplicație sau utilizare care poate fi acordată integrării liniei.

Lucrarea mecanică efectuată de o forță F printr-o traiectorie C poate fi dezvoltată printr-un integrator liniar care este exprimat ca un integru dublu al unei zone prin intermediul teoremei lui Green.

Momentele de inerție ale mai multor organisme supuse forțelor externe în diferite puncte de aplicare răspund și la integralele de linii care pot fi dezvoltate cu teorema lui Green.

Acest lucru are multiple funcționalități în studiile de rezistență a materialelor utilizate. În cazul în care valorile externe pot fi cuantificate și luate în considerare înainte de dezvoltarea diferitelor elemente.

În general, teorema lui Green facilitează înțelegerea și definirea domeniilor în care funcțiile vectoriale sunt definite în raport cu o regiune în funcție de o traiectorie.

istorie

A fost publicat în 1828 în lucrarea Analiza matematică a teoriilor energiei electrice și magnetismului, scrisă de matematicianul britanic George Green. Ea explorează secțiuni destul de determinante în aplicarea calculului în fizică, cum ar fi conceptul funcțiilor potențiale, funcțiile lui Green și aplicațiile teoremei lui de auto-titlul.

George Green și-a formalizat cariera la vârsta de 40 de ani, devenind un matematician pe deplin autodidact până acum. După ce a studiat la Universitatea din Cambridge, a continuat cercetarea, făcând contribuții în domeniul acustică, optică și hidrodinamică, care sunt încă în vigoare astăzi.

Relația cu alte teoreme

Teorema lui Green este un caz special și provine din alte două teoreme foarte importante din ramura de calcul. Acestea sunt teorema Kelvin-Stokes și divergența sau teorema lui Gauss Ostrogradski.

Plecând de la oricare dintre aceste teoreme, se poate ajunge la teorema lui Green. Anumite definiții și propuneri sunt necesare pentru a dezvolta astfel de demonstrații.

pregătire

- Următorul exercițiu arată modul de transformare a unui integral liniar într-un integral dublu față de o regiune R.

Expresia originală este următoarea:

În cazul în care funcțiile corespunzătoare sunt luate afyg

f (x, y) = x3g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Nu există o modalitate unică de a defini limitele integrării atunci când aplicăm teorema lui Green. Dar există moduri în care integralele după ce au fost definite pot fi mai simple. În așa fel încât optimizarea limitelor de integrare merită atenție.

Unde să rezolvăm integralele:

Această valoare corespunde în unități cubice regiunii sub funcția vectorială și în regiunea triunghiulară definită de C.

În cazul liniei integrale fără a efectua metoda Verde, ar fi fost necesară parametrizarea funcțiilor din fiecare secțiune a regiunii. Adică, efectuați 3 integrate parametrizate pentru rezoluție. Aceasta este o dovadă suficientă a eficacității pe care Robert Green a adus-o cu teorema sa calculului.