Ce sunt limitele trigonometrice? (cu exerciții rezolvate)

Limitele trigonometrice sunt limite ale funcțiilor astfel încât aceste funcții să fie formate din funcții trigonometrice.

Există două definiții care trebuie cunoscute pentru a înțelege modul în care este efectuată calculul unei limite trigonometrice.

Aceste definiții sunt:

- Limita unei funcții «f» când «x» tinde să «b»: constă în calcularea valorii la care f (x) se apropie ca «x» apropie «b», fără a ajunge la «b» “.

- Funcțiile trigonometrice: funcțiile trigonometrice sunt funcțiile sinus, cosinus și tangente, notate cu sin (x), cos (x) și tan (x).

Celelalte funcții trigonometrice sunt obținute din cele trei funcții menționate mai sus.

Limitele funcțiilor

Pentru a clarifica conceptul limitei unei funcții, vom proceda pentru a arăta câteva exemple cu funcții simple.

- Limita f (x) = 3 atunci când «x» tinde la «8» este egală cu «3», deoarece funcția este întotdeauna constantă. Indiferent cât de mult merită valoarea "x", valoarea f (x) va fi întotdeauna "3".

- Limita lui f (x) = x-2 când «x» tinde la «6» este «4». De când "x" se apropie de "6" atunci "x-2" se apropie de "6-2 = 4".

- Limita lui g (x) = x 2 când «x» tinde să «3» este egală cu 9, deoarece atunci când «x» se apropie de «3» atunci «x²» se apropie de «3² = 9» .

După cum se poate vedea în exemplele anterioare, calculul unei limite constă în evaluarea valorii la care "x" tinde în funcție și rezultatul va fi valoarea limitei, deși acest lucru este valabil doar pentru funcțiile continue.

Există limite mai complicate?

Răspunsul este da. Exemplele de mai sus sunt cele mai simple exemple de limite. În cărțile de calcul, exercițiile de limite principale sunt cele care generează o indeterminare a tipurilor 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) 0 0 și (∞) ^ 0.

Aceste expresii se numesc indeterminări, deoarece sunt expresii care nu au semnificație matematic.

În plus, în funcție de funcțiile implicate în limita inițială, rezultatul obținut în rezolvarea indeterminărilor poate fi diferit în fiecare caz.

Exemple de limite trigonometrice simple

Pentru a rezolva limitele, este întotdeauna foarte util să cunoști graficele funcțiilor implicate. Graficele funcțiilor sinus, cosinus și tangent sunt prezentate mai jos.

Câteva exemple de limite simple trigonometrice sunt:

- Calculați limita păcatului (x) atunci când "x" tinde la "0".

Când vedeți graficul puteți vedea că dacă "x" se apropie de "0" (ambele din stânga și din dreapta), atunci graficul sinusului se apropie, de asemenea, de "0". Prin urmare, limita păcatului (x) când "x" tinde la "0" este "0".

- Calculați limita cos (x) atunci când «x» tinde la «0».

Observând graficul cosinus, se poate observa că atunci când "x" este aproape de "0" atunci graficul cosinus este aproape de "1". Aceasta implică faptul că limita cos (x) atunci când «x» tinde să «0» este egală cu «1».

O limită poate exista (să fie un număr), ca în exemplele anterioare, dar se poate întâmpla, de asemenea, să nu existe așa cum se arată în exemplul următor.

- Limita de bronz (x) când "x" tinde spre "Π / 2" în stânga este egală cu «+ ∞», așa cum se poate vedea în grafic. Pe de altă parte, limita de bronz (x) atunci când "x" tinde să "-Π / 2" pe dreapta este egală cu «-∞».

Identitățile limitelor trigonometrice

Două identități foarte utile la calcularea limitelor trigonometrice sunt:

- Limita "păcatului (x) / x" când "x" tinde la "0" este egală cu "1".

- Limita lui «(1-cos (x)) / x» când «x» tinde la «0» este egală cu «0».

Aceste identități sunt folosite foarte des atunci când există un fel de indeterminare.

Exerciții rezolvate

Rezolvați următoarele limite utilizând identitățile descrise mai sus.

- Calculați limita «f (x) = sin (3x) / x» atunci când «x» tinde la «0».

Dacă funcția «f» este evaluată în «0», se va obține o indeterminare de tipul 0/0. Prin urmare, trebuie să încercăm să rezolvăm această indeterminare folosind identitățile descrise.

Singura diferență dintre această limită și identitate este numărul 3 care apare în cadrul funcției sinusoidale. Pentru a aplica identitatea, funcția «f (x)» trebuie rescrisă după cum urmează «3 * (sin (3x) / 3x» ». Acum, atât argumentul sinusului cât și al numitorului sunt aceleași.

Deci atunci când «x» tinde la «0», folosind rezultatele identității «3 * 1 = 3». Prin urmare, limita f (x) atunci când «x» tinde la «0» este egală cu «3».

- Calculați limita «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» atunci când «x» tinde la «0».

Atunci când "x = 0" este înlocuit în g (x), se obține o indeterminare a tipului ∞-∞. Pentru a rezolva aceasta, se scad fractiile, rezultand rezultatul «(1-cos (x)) / x».

Acum, atunci când aplicăm cea de-a doua identitate trigonometrică, avem limita g (x) atunci când «x» tinde să «0» este egală cu 0.

- Calculați limita "h (x) = 4tan (5x) / 5x» atunci când "x" tinde la "0".

Din nou, dacă h (x) este evaluat la «0», se va obține o indeterminare de tipul 0/0.

Rescrierea tan (5x) ca sin (5x) / cos (5x) duce la h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Folosind limita de 4 / cos (x) atunci când «x» tinde să «0» este egală cu «4/1 = 4» și prima identitate trigonometrică obținem că limita h (x) atunci când «x» tinde un «0» este egal cu «1 * 4 = 4».