Vector Algebra: Bazele, magnitudinele, vectorii

Vector algebra este o ramură a matematicii responsabilă pentru studierea sistemelor de ecuații liniare, vectori, matrice, spații vectoriale și transformările lor liniare. Este legată de domenii precum ingineria, rezolvarea ecuațiilor diferențiale, analiza funcțională, cercetarea operațiunilor, grafica pe calculator, printre altele.

Un alt domeniu care a adoptat algebra liniară este fizica, deoarece prin aceasta a fost dezvoltat pentru a studia fenomenele fizice, descriindu-le prin utilizarea de vectori. Acest lucru a făcut posibilă o mai bună înțelegere a universului.

fundații

Algebra vectorială a provenit din studiul quaternionelor (extensia numerelor reale) 1, i, j și k, precum și geometria carteziană promovată de Gibbs și Heaviside, care au realizat că vectorii ar servi drept instrument pentru reprezintă diferite fenomene fizice.

Vector algebra este studiată prin trei fundații:

geometric

Vectorii sunt reprezentați de linii care au o orientare, iar operațiile cum ar fi adunarea, scăderea și multiplicarea prin numere reale sunt definite prin metode geometrice.

analitic

Descrierea vectorilor și operațiunile lor se face cu numere, numite componente. Acest tip de descriere este rezultatul unei reprezentări geometrice deoarece este utilizat un sistem de coordonate.

axiomatic

Se face o descriere a vectorilor, independent de sistemul de coordonate sau de orice tip de reprezentare geometrică.

Studiul figurilor în spațiu se face prin reprezentarea lor într-un sistem de referință, care poate fi în una sau mai multe dimensiuni. Printre sistemele principale se numără:

- Sistemul unidimensional, care este o linie în care un punct (O) reprezintă originea și un alt punct (P) determină scara (lungimea) și direcția acestuia:

- Sistem de coordonate dreptunghiulare (bidimensional), care este compus din două linii perpendiculare numite axa x și axa y, care trec printr-o origine a punctului (O); în acest fel planul este împărțit în patru regiuni numite quadrants. În acest caz, un punct (P) în plan este dat de distanțele care există între axe și P.

- Sistemul de coordonate polar (bidimensional). În acest caz, sistemul este compus dintr-un punct O (origine) care se numește pol și o rază cu origine O numită axă polară. În acest caz, punctul P al planului, cu referire la pol și axul polar, este dat de unghiul (Ń), care este format de distanța dintre origine și punctul P.

- Sistem tridimensional dreptunghiular, format din trei linii perpendiculare (x, y, z) care au ca origine un punct O în spațiu. Se formează trei planuri de coordonate: xy, xz și yz; spațiul va fi împărțit în opt regiuni numite octanți. Referința unui punct P al spațiului este dată de distanțele care există între planuri și P.

magnitudini

O magnitudine este o cantitate fizică care poate fi numărată sau măsurată printr-o valoare numerică, ca în cazul unor fenomene fizice; cu toate acestea, este adesea necesar să se poată descrie aceste fenomene cu alți factori care nu sunt numerici. De aceea, magnitudinile sunt clasificate în două tipuri:

Scalar magnitudine

Acestea sunt acele cantități care sunt definite și reprezentate numeric; adică printr-un modul împreună cu o unitate de măsură. De exemplu:

a) Timp: 5 secunde.

b) Masa: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Vector magnitudine

Acestea sunt acele cantități care sunt definite și reprezentate de un modul împreună cu o unitate, precum și de un sens și o direcție. De exemplu:

a) Viteza: (5, 3 - 3 μm) m / s.

b) Accelerare: 13 m / s2; S 45º E.

c) Forța: 280 N, 120º.

d) Greutate: -40 ĵ kg-f.

Mărimile vectorului sunt reprezentate grafic prin vectori.

Ce sunt vectorii?

Vectorii reprezintă reprezentări grafice de magnitudine vectorială; adică, ele sunt segmente de linie dreaptă în care sfârșitul lor final este vârful unei săgeți.

Acestea sunt determinate de modulul sau lungimea segmentului, semnificația acestuia fiind indicată de vârful săgeții și de direcția sa în funcție de linia de care aparține. Originea unui vector este, de asemenea, cunoscută ca punct de aplicare.

Elementele unui vector sunt următoarele:

modul

Este distanța de la origine până la sfârșitul unui vector, reprezentat de un număr real împreună cu o unitate. De exemplu:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adresa

Este măsura unghiului dintre axa x (de la pozitiv) și vectorul, precum și punctele cardinale (nord, sud, est și vest).

sens

Acesta este dat de capul săgeții situat la capătul vectorului, indicând unde se îndreaptă.

Clasificarea vectorilor

În general, vectorii sunt clasificați ca:

Vector fix

Este cel al cărui punct de aplicare (origine) este fixat; adică să rămână legat de un punct al spațiului, motiv pentru care nu poate fi strămutat în acest spațiu.

Vector gratuit ce

Se poate mișca liber în spațiu, deoarece originea sa se deplasează în orice punct fără a schimba modul, sensul sau direcția.

Glisant vector

Este cel care își poate muta originea de-a lungul liniei sale de acțiune fără a-și schimba modulul, direcția sau direcția.

Proprietățile vectorilor

Printre proprietățile principale ale vectorilor se numără:

Equipolentes vectori

Ei sunt acei vectori liberi care au același modul, direcția (sau paralele) și simt că un vector alunecător sau un vector fix.

Vectori echivalenți

Se întâmplă atunci când doi vectori au aceeași direcție (sau sunt paralele), același sens și, în ciuda faptului că au diferite module și puncte de aplicare, ele produc aceleași efecte.

Egalitatea vectorilor

Ei au același modul, direcția și simțul, chiar dacă punctele lor de pornire sunt diferite, ceea ce permite unui vector paralel să se miște fără să îl afecteze.

Vectorii opuși

Ele sunt acelea care au același modul și direcție, dar sensul lor este opus.

Unitate Vector

Este modul în care modulul este egal cu unitatea (1). Acest lucru este obținut prin împărțirea vectorului prin modulul său și este folosit pentru a determina direcția și sensul unui vector, fie în plan, fie în spațiu, folosind vectorii normalizați de bază sau uniți, care sunt:

Vector nul

Este cel al cărui modul este egal cu 0; adică, punctul lor de origine și final coincid în același punct.

Componente ale unui vector

Componentele unui vector sunt acele valori ale proiecțiilor vectorului pe axele sistemului de referință; În funcție de descompunerea vectorului, care poate fi în axe cu două sau trei dimensiuni, vor fi obținute două sau trei componente.

Componentele unui vector sunt numere reale, care pot fi pozitive, negative sau chiar zero (0).

Astfel, dacă avem un vector Ā, originar dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular în planul xy (bidimensional), proiecția pe axa x este Āx, iar proiecția pe axa y este Āy. Astfel, vectorul va fi exprimat ca suma vectorilor săi.

Exemple

Primul exemplu

Avem un vector Ā care începe de la origine și sunt date coordonatele capetelor sale. Astfel, vectorul A = (A _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Dacă vectorul acționează la originea unui sistem tridimensional de coordonate triunghiulare (în spațiu) x, y, z, la un alt punct (P), proiecțiile pe axele sale vor fi Āx, Āy și Āz; astfel, vectorul va fi exprimat ca suma vectorilor săi cu trei componente.

Al doilea exemplu

Avem un vector Ā care începe de la origine și sunt date coordonatele capetelor sale. Astfel, vectorul A = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Vectorii care au coordonatele lor dreptunghiulare pot fi exprimate în termeni de vectori de bază ai acestora. Pentru aceasta, numai fiecare coordonată trebuie să fie înmulțită cu vectorul unitar respectiv, astfel încât pentru plan și spațiu acestea să fie următoarele:

Pentru planul: A = A _x i + A _și j.

Pentru spațiul: A = A _x i + A _și j + A _z k.

Operații cu vectori

Există multe magnitudine care au un modul, sensul și direcția, cum ar fi accelerația, viteza, deplasarea, forța, printre altele.

Acestea sunt aplicate în diferite domenii ale științei, iar pentru a le aplica este necesar în unele cazuri să se efectueze operații cum ar fi adunarea, scăderea, multiplicarea și împărțirea vectorilor și scalarelor.

Adăugarea și scăderea vectorilor

Adunarea și scăderea vectorilor este considerată o singură operație algebrică, deoarece scăderea poate fi scrisă ca suma; de exemplu, scăderea vectorilor Ā și Ē poate fi exprimată ca:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Există diferite metode de efectuare a adăugării și scăderii vectorilor: ele pot fi grafice sau analitice.

Metode grafice

Se utilizează atunci când un vector are un modul, un sens și o direcție. Pentru a face acest lucru, sunt trase linii care formează o figură care mai târziu ajută la determinarea rezultatului. Printre cele mai cunoscute, se remarcă următoarele:

Metoda paralelogramă

Pentru a face adăugarea sau scăderea a două vectori, un punct este ales în comun pe axa de coordonate - care va reprezenta punctul de origine al vectorilor -, menținându-și modulul, direcția și direcția.

Apoi, liniile sunt desenate paralel cu vectorii pentru a forma o paralelogramă. Vectorul rezultat este diagonala care părăsește punctul de origine al celor doi vectori până la vârful paralelogramului:

Metoda triunghiulară

În această metodă vectorii sunt plasați unul lângă celălalt, menținându-și modulele, direcțiile și direcțiile. Vectorul rezultat va fi uniunea originii primului vector cu sfârșitul celui de-al doilea vector:

Metode analitice

Puteți adăuga sau scădea două sau mai multe vectori printr-o metodă geometrică sau vectorală:

Metoda geometrică

Atunci când doi vectori formează un triunghi sau paralelogram, modulul și direcția vectorului rezultat pot fi determinate folosind legile sinusului și cosinusului. Astfel, modulul vectorului rezultat, aplicând legea cosinusului și prin metoda triunghiului, este dat de:

În această formulă β este unghiul opus laterei R, iar acesta este egal cu 180 ° - Ń.

În schimb, prin metoda paralelogramă, modulul vectorial rezultat este:

Direcția vectorului rezultat este dată de unghiul (α), care formează rezultatul cu unul din vectori.

Prin legea sinusului, adunarea sau scăderea vectorilor se poate face și prin metoda triunghiului sau paralelogramului, știind că în fiecare triunghi laturile sunt proporționale cu sânii unghiurilor:

Metoda Vector

Acest lucru se poate face în două moduri: în funcție de coordonatele dreptunghiulare sau de vectorii lor de bază.

Se poate face prin transferarea vectorilor care urmează să fie adăugați sau scăzuți la originea coordonatelor și apoi toate proeminențele pe fiecare axă pentru plan (x, y) sau spațiu (x, și, z); în final, componentele sale sunt adăugate algebric. Deci, pentru avion este:

Modulul vectorului rezultat este:

În timp ce pentru spațiu este:

Modulul vectorului rezultat este:

La realizarea sumelor vectoriale se aplică mai multe proprietăți, care sunt:

- Proprietatea asociativă: rezultatul nu se modifică atunci când se adaugă mai întâi doi vectori și apoi se adaugă un al treilea vector.

- Proprietatea comutativă: ordinea vectorilor nu modifică rezultatul.

- Proprietatea distributivă vectorică: dacă un scalar este înmulțit cu suma a două vectori, este egal cu multiplicarea scalarului pentru fiecare vector.

- Proprietatea distributivă scalară: dacă un vector este înmulțit cu suma a două scalare, acesta este egal cu multiplicarea vectorului pentru fiecare scalar.

Multiplicarea vectorilor

Înmulțirea sau produsul vectorilor ar putea fi realizate ca adiție sau scădere, dar în acest mod, pierde sensul fizic și nu se găsește aproape niciodată în aplicații. Din acest motiv, cele mai utilizate tipuri de produse sunt produsul scalar și vectorial.

Produs scalar

Este, de asemenea, cunoscut ca un produs punct de două vectori. Atunci când modulele a doi vectori se înmulțesc cu cosinusul unghiului minor care se formează între ele, se obține un scalar. Pentru a plasa un produs scalar între două vectori, un punct este plasat între ele, iar acest lucru poate fi definit ca:

Valoarea unghiului care există între cele două vectori va depinde de faptul dacă acestea sunt paralele sau perpendiculare; Deci, trebuie:

- Dacă vectorii sunt paralele și au același sens, cosinusul 0º = 1.

- Dacă vectorii sunt paralele și au simțuri opuse, cosinusul 180º = -1.

- Dacă vectorii sunt perpendiculați, cosinusul 90 ° = 0.

Acest unghi poate fi calculat, de asemenea, știind că:

Produsul scalar are următoarele proprietăți:

- Proprietatea comutativă: ordinea vectorilor nu modifică scalar.

- Proprietatea distributivă: dacă un scalar este înmulțit cu suma a două vectori, este egal cu multiplicarea scalarului pentru fiecare vector.

Produs vector

Multiplicarea vectorului sau produsul încrucișat al doi vectori A și B va avea ca rezultat un nou vector C și va fi exprimat folosind o cruce între vectori:

Noul vector va avea propriile caracteristici. În acest fel:

- Direcția: acest vector nou va fi perpendicular pe plan, determinat de vectorii originali.

- Sensul: aceasta este determinată de regula mâinii drepte, unde vectorul A se rotește spre B indicând direcția rotației cu degetele, iar cu degetul mare se marchează sensul vectorului.

- Modulul: este determinat de multiplicarea modulelor vectorilor AxB, de sinusul cel mai mic unghi care există între aceste vectori. Se exprimă:

Valoarea unghiului care există între cele două vectori va depinde de dacă sunt paralele sau perpendiculare. Apoi, este posibil să se afirme următoarele:

- Dacă vectorii sunt paralele și au același sens, păcatul 0 ° = 0.

- Dacă vectorii sunt paralele și au sensuri opuse, sinus 180 ° = 0.

- Dacă vectorii sunt perpendiculați, sinusoidală 90º = 1.

Atunci când un produs vectorial este exprimat în termeni de vectori de bază, acesta trebuie: