Ecuații polinomiale (cu exerciții rezolvate)

Ecuațiile polinomiale sunt o afirmație care ridică egalitatea a două expresii sau membri, unde cel puțin unul dintre termenii care compun fiecare parte a egalității sunt polinomii P (x). Aceste ecuații sunt numite în funcție de gradul variabilelor lor.

În general, o ecuație este o afirmație care stabilește egalitatea a două expresii, unde în cel puțin una dintre acestea există cantități necunoscute, numite variabile sau necunoscute. Deși există mai multe tipuri de ecuații, acestea sunt în general clasificate în două tipuri: algebrice și transcendentale.

Ecuațiile polinomiale conțin numai expresii algebrice, care pot avea una sau mai multe necunoscute implicate în ecuație. Potrivit exponentului (clasa), ele pot fi clasificate în: gradul I (liniar), al doilea grad (patra), al treilea (cubic), al patrulea (quartic), mai mare sau egal cu cinci și irațional.

caracteristici

Ecuațiile polinomiale sunt expresii care se formează printr-o egalitate între două polinoame; adică prin sume finite de multiplicări între valori necunoscute (variabile) și numere fixe (coeficienți), unde variabilele pot avea exponenți, iar valoarea lor poate fi un număr întreg pozitiv, inclusiv zero.

Exponenții determină gradul sau tipul de ecuație. Termenul expresiei care are exponentul cu cea mai mare valoare va reprezenta gradul absolut al polinomului.

Ecuațiile polinomiale sunt de asemenea cunoscute ca algebrice, coeficienții lor pot fi numere reale sau complexe, iar variabilele sunt numere necunoscute reprezentate de o literă, cum ar fi "x".

Dacă înlocuim o valoare cu variabila "x" în P (x), rezultatul este egal cu zero (0), atunci se spune că această valoare satisface ecuația (este o soluție) și se numește, în general, rădăcina polinomului.

Atunci când se dezvoltă o ecuație polinomială, doriți să găsiți toate rădăcinile sau soluțiile.

tip

Există mai multe tipuri de ecuații polinomiale, care sunt diferențiate în funcție de numărul de variabile și de gradul lor de exponent.

Astfel, ecuațiile polinomiale - în care primul termen este un polinom cu un singur necunoscut, având în vedere că gradul său poate fi orice număr natural (n) și al doilea termen este zero -, poate fi exprimat după cum urmează:

un _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

în cazul în care:

- a _n, a _n-1 și ₀, sunt coeficienți reali (numere).

- un _n este diferit de zero.

- Exponentul n este un număr întreg pozitiv care reprezintă gradul ecuației.

- x este variabila sau necunoscută care trebuie căutată.

Gradul absolut sau mai mare al unei ecuații polinomiale este reprezentantul unei valori mai mari în rândul tuturor celor care formează polinomul; în acest fel, ecuațiile sunt clasificate ca:

Clasa întâi

Ecuațiile polinomiale de gradul întâi, cunoscute și ca ecuații liniare, sunt cele în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 1, polinomul este de forma P (x) = 0; și este compus dintr-un termen liniar și un termen independent. Este scrisă după cum urmează:

ax + b = 0.

în cazul în care:

- a și b sunt deja numere reale ≠ 0.

- axa este termenul liniar.

- b este termenul independent.

De exemplu, ecuația 13x - 18 = 4x.

Pentru a rezolva ecuațiile liniare, toți termenii care conțin x necunoscut trebuie să fie trecuți pe o parte a egalității, iar cei care nu au aceeași mișcare spre cealaltă parte, pentru a-l șterge și a obține o soluție:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

În acest fel, ecuația dată are o singură soluție sau rădăcină, care este x = 2.

Clasa a II-a

Ecuațiile polinomiale de gradul doi, cunoscute și sub denumirea de ecuații patratice, sunt cele în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 2, polinomul are forma P (x) = 0 și este compus dintr-un termen quadratic, una liniară și una independentă. Se exprimă după cum urmează:

ax2 + bx + c = 0.

în cazul în care:

- a, b și c sunt deja numere reale ≠ 0.

- ax2 este termenul quadratic și "a" este coeficientul termenului quadratic.

- bx este termenul liniar, iar "b" este coeficientul termenului liniar.

- c este termenul independent.

resolvente

În general, soluția la acest tip de ecuații este dată de compensarea x din ecuație și este lăsată după cum urmează, numită rezolvator:

Acolo, (b2 - 4ac) se numește discriminant al ecuației și această expresie determină numărul de soluții pe care ecuația le poate avea:

- Dacă (b2 - 4ac) = 0, ecuația va avea o singură soluție care este dublă; adică veți avea două soluții egale.

- Dacă (b2 - 4ac)> 0, ecuația va avea două soluții reale diferite.

- Dacă (b2 - 4ac) <0, ecuația nu are nici o soluție (va avea două soluții complexe diferite).

De exemplu, avem ecuația 4x2 + 10x - 6 = 0, pentru ao rezolva, identificăm mai întâi termenii a, b și c și apoi o înlocuim în formula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Există cazuri în care ecuațiile polinomiale de gradul doi nu au cei trei termeni și de aceea sunt rezolvați în mod diferit:

- În cazul în care ecuațiile patratice nu au termenul liniar (adică, b = 0), ecuația va fi exprimată ca ax2 + c = 0. Pentru a rezolva aceasta, x2 este șters și rădăcinile pătrate sunt aplicate în fiecare membru, care ar trebui să fie considerate cele două semne posibile care ar putea avea incognito:

ax2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

De exemplu, 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2

x ₂ = -2

- Atunci când ecuația cuadratoare nu are un termen independent (adică c = 0), ecuația va fi exprimată ca ax2 + bx = 0. Pentru a rezolva aceasta, trebuie să extragem factorul comun al necunoscutului x în primul membru; deoarece ecuația este egală cu zero, este adevărat că cel puțin unul dintre factori va fi egal cu 0:

ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

În acest fel, trebuie să:

x = 0

x = -b ÷ a.

De exemplu: aveți ecuația 5x2 + 30x = 0. Primul factor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Se generează doi factori care sunt xy (5x + 30). Se consideră că una dintre acestea va fi egală cu zero, iar cealaltă soluție va fi dată:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Gradul major

Ecuațiile polinomiale cu un grad mai mare sunt cele care merg de la gradul al treilea, care pot fi exprimate sau rezolvate prin ecuația polinomului general pentru orice grad:

un _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Acest lucru este folosit deoarece o ecuație cu un grad mai mare de două este rezultatul factorizării unui polinom; adică este exprimată ca multiplicarea polinomilor de gradul unu sau mai mare, dar fără rădăcini reale.

Soluția acestui tip de ecuații este directă, deoarece multiplicarea a doi factori va fi egală cu zero dacă oricare dintre factori este nulă (0); prin urmare, fiecare dintre ecuațiile polinomiale găsite trebuie să fie rezolvată, egalizând fiecare dintre factorii săi la zero.

De exemplu, aveți ecuația de gradul 3 (cubic) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Pentru ao rezolva, trebuie să urmați pașii următori:

- Termenii sunt grupați:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.

- Membrii sunt defalcați pentru a obține factorul comun al necunoscutului:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4) _* (x + 1) = 0.

- În acest fel, se obțin doi factori, care trebuie să fie egali cu zero:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Se poate observa că factorul (x2 + 4) = 0 nu va avea o soluție reală, în timp ce factorul (x + 1) = 0 face. Prin urmare, soluția este:

(x + 1) = 0

x = -1

Exerciții rezolvate

Rezolvați următoarele ecuații:

Primul exercițiu

(2x2 + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

soluție

În acest caz, ecuația este exprimată ca multiplicarea polinomilor; adică, este luat în considerare. Pentru a rezolva aceasta, fiecare factor trebuie să fie egal cu zero:

- 2x2 + 5 = 0, nu are soluție.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Astfel, ecuația dată are două soluții: x = 3 și x = -1.