Gradientul potențial: Caracteristici, cum se calculează și exemplul

Gradientul potențial este un vector care reprezintă relația de schimbare a potențialului electric în raport cu distanța din fiecare axă a unui sistem de coordonate cartezian. Astfel, vectorul de gradient potențial indică direcția în care rata de schimbare a potențialului electric este mai mare, în funcție de distanță.

La rândul său, modulul de gradient potențial reflectă rata de schimbare a variației potențialului electric într-o anumită direcție. Dacă valoarea este cunoscută în fiecare punct al unei regiuni spațiale, atunci câmpul electric poate fi obținut din gradientul potențial.

Câmpul electric este definit ca un vector, cu care are o direcție și o magnitudine specifice. Prin determinarea direcției în care potențialul electric scade mai repede - se deplasează de la punctul de referință - și împărțind această valoare pe distanța parcursă, se obține magnitudinea câmpului electric.

caracteristici

Gradientul potențial este un vector delimitat de coordonate spațiale specifice, care măsoară relația de schimbare dintre potențialul electric și distanța parcursă de potențialul menționat.

Cele mai remarcabile caracteristici ale gradientului de potențial electric sunt detaliate mai jos:

1- Gradientul potențial este un vector. Prin urmare, are o magnitudine și o direcție specifică.

2 - Deoarece gradientul potențial este un vector în spațiu, acesta are magnitudine adresate în axele X (lățime), Y (înaltă) și Z (adâncime), dacă sistemul de coordonate cartezian este luat drept referință.

3- Acest vector este perpendicular pe suprafața echipotențială în punctul în care este evaluat potențialul electric.

4- Vectorul de gradient potențial este îndreptat spre direcția variației maxime a funcției de potențial electric în orice punct.

5- Modulul de gradient potențial este egal cu cel derivat din funcția de potențial electric în raport cu distanța parcursă în direcția fiecărei axe a sistemului de coordonate carteziene.

6- Gradientul potențial are valoare zero în punctele staționare (puncte maxime, minime și șa).

7- În sistemul internațional de unități (SI), unitățile de măsură ale gradientului potențial sunt volți / metri.

8 - Direcția câmpului electric este aceeași, în care potențialul electric scade mai repede magnitudinea. La rândul său, gradientul potențial indică direcția în care potențialul își mărește valoarea în raport cu o schimbare de poziție. Apoi, câmpul electric are aceeași valoare a gradientului potențial, dar cu semnul opus.

Cum se calculează?

Diferența electrică dintre două puncte (punctul 1 și punctul 2) este dată de următoarea expresie:

în cazul în care:

V1: potențialul electric în punctul 1.

V2: potențialul electric din punctul 2.

E: magnitudinea câmpului electric.

Ѳ: unghiul de înclinare a vectorului câmpului electric măsurat în raport cu sistemul de coordonate.

Exprimând formula menționată într-o manieră diferențială, se deduce următoarele:

Factorul E * cos (Ѳ) se referă la modulul componentei câmpului electric în direcția lui dl. Fie L axa orizontală a planului de referință, apoi cos (Ѳ) = 1, după cum urmează:

În continuare, coeficientul dintre variația potențialului electric (dV) și variația distanței parcursă (ds) este modulul gradientului potențial pentru componenta menționată.

Rezultă că mărimea gradientului de potențial electric este egală cu componenta câmpului electric în direcția studiului, dar cu semnul opus.

Cu toate acestea, deoarece mediul real este tridimensional, gradientul potențial la un anumit punct trebuie exprimat ca suma a trei componente spațiale pe axele X, Y și Z ale sistemului cartesian.

Prin ruperea vectorului câmpului electric în cele trei componente rectangulare, avem următoarele:

Dacă există o regiune în planul în care potențialul electric are aceeași valoare, derivatul parțial al acestui parametru în raport cu fiecare dintre coordonatele carteziene va fi zero.

Astfel, în punctele care se află pe suprafețe echipotențiale, intensitatea câmpului electric va avea zero amploare.

În cele din urmă, vectorul de gradient potențial poate fi definit ca fiind exact același vector de câmp electric (în magnitudine), cu semnul opus. Astfel, avem urmatoarele:

exemplu

Din calculele de mai sus trebuie:

Cu toate acestea, înainte de a determina câmpul electric în funcție de gradientul potențial sau invers, trebuie mai întâi determinată direcția în care crește diferența de potențial electric.

După aceea se determină coeficientul variației potențialului electric și variația distanței nete parcurse.

În acest fel se obține magnitudinea câmpului electric asociat, care este egală cu magnitudinea gradientului potențial în acea coordonată.

exercițiu

Există două plăci paralele, după cum se arată în figura următoare.

Pasul 1

Se determină direcția de creștere a câmpului electric pe sistemul de coordonate carteziene.

Câmpul electric crește numai în direcția orizontală, având în vedere dispunerea plăcilor paralele. În consecință, este posibil să se deducă faptul că componentele gradientului potențial pe axa Y și axa Z sunt zero.

Pasul 2

Datele de interes sunt discriminate.

- Diferența potențială: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Diferența în distanța: dx = 10 centimetri.

Pentru a garanta congruența unităților de măsură utilizate în conformitate cu Sistemul Internațional de Unități, cantitățile care nu sunt exprimate în SI trebuie convertite corespunzător. Astfel, 10 centimetri sunt egale cu 0, 1 metri, iar în final: dx = 0, 1 metri.