Succesiuni quadrate: exemple, reguli și exerciții rezolvate

Secvențele quadratice, din punct de vedere matematic, constau în secvențe de numere care respectă o anumită regulă aritmetică. Este interesant să cunoașteți această regulă pentru a determina oricare dintre termenii unei secvențe.

O modalitate de a face acest lucru este de a determina diferența dintre doi termeni succesivi și de a vedea dacă valoarea obținută este întotdeauna repetată. În acest caz, se spune că este o succesiune regulată .

Dar dacă nu se repetă, puteți încerca să examinați diferența dintre diferențe și să vedeți dacă această valoare este constantă. Dacă da, atunci este o secvență patratică .

Exemple de succesiuni regulate și secvențe patratice

Următoarele exemple ajută la clarificarea celor explicate până acum:

Exemplu de succesiune obișnuită

Fie secvența S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}

Această secvență, notată de S, este un număr infinit de seturi, în acest caz de numere întregi.

Se poate observa că este o succesiune obișnuită, deoarece fiecare termen este obținut prin adăugarea a 3 la termenul sau elementul anterior:

4 + 3 = 7

7 + 3 = 10

10 + 3 = 13

13+ 3 = 16

Altfel, această secvență este regulată, deoarece diferența dintre următorul termen și cel precedent oferă o valoare fixă. În exemplul dat, această valoare este de 3.

O secvență obișnuită care se obține prin adăugarea unei sume fixe la termenul anterior este de asemenea numită progresie aritmetică. Și diferența - constantă - între termenii succesivi se numește motiv și este notată ca R.

Exemplu de succesiune neregulată și patratică

Vedeți acum următoarea secvență:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}

Când se calculează diferențele succesive, se obțin următoarele valori:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Diferențele lor nu sunt constante, deci se poate afirma că este o succesiune neregulată.

Cu toate acestea, dacă luăm în considerare setul de diferențe, avem o altă secvență care va fi notată ca S _dif :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ....}

Această secvență nouă este o secvență obișnuită, deoarece fiecare termen este obținut prin adăugarea valorii fixe R = 2 la cea precedentă. Din acest motiv putem afirma că S este succesiunea patratică.

Regula generală de a construi o succesiune patratică

Există o formulă generală pentru construirea unei secvențe patrate:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C

În această formulă, _Tn este termenul poziției n al secvenței. A, B și C sunt valori fixe, în timp ce n variază unul câte unul, adică 1, 2, 3, 4, ...

În secvența S a exemplului anterior A = 1, B = 1 și C = 0. Din aceasta rezultă că formula care generează toți termenii este: T _n = n2 + n

Asta este:

T ₁ = 12 + 1 = 2

T2 = 22 + 2 = 6

T3 = 32 + 3 = 12

T5 = 52 + 5 = 30

T _n = n2 + n

Diferența dintre doi termeni consecutivi ai unei secvențe patrate

T _{n + 1} - T _n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ n + 1 + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n +

Dezvoltarea expresiei prin intermediul unui produs remarcabil este:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C ∙ A ∙ n2 ∙ B ∙ n - C

Prin simplificarea acesteia veți obține:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B.

Aceasta este formula care dă secvența diferențelor S _Dif care poate fi scrisă astfel:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Unde este clar următorul termen este 2 ∙ Uneori cel precedent. Aceasta este motivul succesiunii diferențelor S _dif : R = 2 ∙ A.

S-au rezolvat exerciții de succesiuni patrate

Exercițiul 1

Fie secvența S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Determinați dacă:

i) Este regulat sau nu

ii) este patratică sau nu

iii) A fost patratică, succesiunea diferențelor și rațiunea lor

răspunsuri

i) Să calculăm diferența dintre termenul următor și cel precedent:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Putem afirma că secvența S nu este regulată, deoarece diferența dintre termenii succesivi nu este constantă.

ii) Succesiunea diferențelor este regulată, deoarece diferența dintre termenii lor este valoarea constantă 2. Prin urmare, secvența inițială S este patratică.

iii) Am stabilit deja că S este patratică, succesiunea diferențelor este:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ...} și raportul său este R = 2.

Exercițiul 2

Fie secvența S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} din exemplul anterior, unde sa verificat că este patrat. determină:

i) Formula care determină termenul general T _n.

ii) Verificați al treilea și al cincilea termen.

iii) Valoarea celui de-al zecelea termen.

răspunsuri

i) Formula generală a _Tn este A ∙ n2 + B ∙ n + C. Apoi rămâne să cunoaștem valorile A, B și C.

Succesiunea diferențelor este corectă 2. De asemenea, pentru orice secvență patratică, raportul R este 2 ∙ A așa cum se arată în secțiunile anterioare.

R = 2 ∙ A = 2 care ne conduce la concluzia că A = 1.

Primul termen al secvenței diferențelor S _Dif este 2 și trebuie să îndeplinească A ∙ (2n + 1) + B, cu n = 1 și A = 1, adică:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

compensarea B obține: B = -1

Apoi primul termen al S (n = 1) este în valoare de 1, adică: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. După cum deja știm că A = 1 și B = -1,

1 = 1 ∙ 12 + (-1) ∙ 1 + C

Se elimină valoarea C: C = 1.

Pe scurt:

A = 1, B = -1 și C = 1

Apoi termenul n va fi T _n = n2 - n + 1

ii) Al treilea termen T ₃ = 32 - 3 + 1 = 7 și este verificat. Cincea T ₅ = 52 - 5 + 1 = 21, care este de asemenea verificată.

iii) Al zecelea termen va fi T ₁₀ = 102 - 10 + 1 = 91.

Exercitarea 3

Figura arată o secvență de cinci cifre. Grilă reprezintă unitatea de lungime.

i) Determinați secvența pentru zona figurilor.

ii) Aratati ca este o secventa patrata.

iii) Găsiți zona din Figura # 10 (nu este prezentată).

răspunsuri

i) Secvența S corespunzătoare zonei secvenței de figuri este:

S = {0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }

ii) succesiunea corespunzătoare diferențelor consecutive ale termenilor lui S este:

S _dif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }

Deoarece diferența dintre termeni consecutivi nu este constantă, atunci S nu este o secvență obișnuită. Trebuie să știm dacă este patratică, pentru care din nou facem succesiunea diferențelor, obținând:

{2, 2, 2, .......}

Deoarece toți termenii din secvență se repetă, se confirmă că S este o secvență patratică.

iii) Secvența S _dif este regulată și raportul R este 2. Folosind ecuația de mai sus R = 2 ∙ A, rămâne:

2 = 2 ∙ A, ceea ce înseamnă că A = 1.

Al doilea termen al secvenței diferențelor S _Dif este 4 și termenul n de S _Dif este

A ∙ (2n + 1) + B.

Al doilea termen are n = 2. În plus, sa stabilit deja că A = 1, deci folosind ecuația anterioară și înlocuind avem:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Clearing B obține: B = -1.

Se știe că al doilea termen al lui S este 2 și că trebuie să îndeplinească formula termenului general cu n = 2:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T2 = 2

Adică