Clasificarea numerelor reale

Clasificarea principală a numerelor reale este împărțită în numere naturale, numere întregi, numere raționale și numere iraționale. Numerele reale sunt reprezentate cu litera R.

Există numeroase moduri în care diferite numere reale pot fi construite sau descrise, variind de la forme mai simple la cele mai complexe, în funcție de munca matematică pe care doriți să o faceți.

Cum sunt clasificate numerele reale?

Numere naturale

Acestea sunt numerele utilizate pentru a număra, cum ar fi "există patru flori în sticlă".

Unele definiții încep numerele naturale în 0, în timp ce alte definiții încep în 1. Numerele naturale sunt cele utilizate pentru numărare: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... etc; Ele sunt folosite ca numere ordinale sau cardinale.

Numerele naturale sunt bazele cu care pot fi construite numeroase alte seturi de numere: întregi, numere raționale, numere reale și numere complexe printre altele.

Aceste lanțuri de extensie reprezintă numerele naturale identificate canonic în celelalte sisteme de numere.

Proprietățile numerelor naturale, cum ar fi divizibilitatea și distribuția numerelor primare, sunt studiate în teoria numerelor.

Problemele legate de numărare și ordonare, cum ar fi enumerările și împărțirea, sunt studiate în combinatorice.

În parlamentele comune, ca și în școlile primare, numerele naturale pot fi numite numere numărare pentru a exclude numerele întregi negative și zero.

Acestea au mai multe proprietăți, cum ar fi: adăugarea, înmulțirea, scăderea, diviziunea etc.

Numere întregi

Numere întregi sunt acele numere care pot fi scrise fără o componentă fracționată. De exemplu: 21, 4, 0, -76, etc. Pe de altă parte, numere precum 8.58 sau √2 nu sunt numere întregi.

Se poate spune că numere întregi sunt numere complete, împreună cu numere negative de numere naturale. Ele sunt folosite pentru a exprima banii datorați, adâncimi relative la nivelul mării sau la temperaturi scăzute, pentru a numi câteva utilizări.

Un set de numere întregi constă în zero (0), numere naturale pozitive (1, 2, 3 ...) și numere întregi negative (-1, -2, -3 ...). În general, acesta este denumit ZZ sau cu Z (Z) îndrăzneț.

Z este un subset al grupului de numere raționale Q, care la rândul lor formează grupul de numere reale R. Ca numere naturale, Z este un grup infinit de numărare.

Numere întregi formează cel mai mic grup și cel mai mic număr de numere naturale. În teoria numerelor algebrice, numerele întregi sunt numite uneori numere iraționale pentru a le distinge de numerele algebrice.

Numere raționale

Un număr rațional este orice număr care poate fi exprimat ca componentă sau fracțiune a două numere întregi p / q, un numărător p și un numitor q. Deoarece q poate fi egal cu 1, fiecare număr întreg este un număr rațional.

Setul de numere raționale, deseori denumit "raționamente", este notat cu un Q.

Extensia zecimală a unui număr rațional se termină întotdeauna după un număr finit de cifre sau atunci când aceeași repetiție finită de cifre se repetă din nou și din nou.

În plus, orice zecimal repetat sau terminal reprezintă un număr rațional. Aceste afirmații sunt valabile nu numai pentru baza 10, ci și pentru orice altă bază întregă.

Un număr real care nu este rațional se numește irațional. Numerele iraționale includ √2, a π și e, de exemplu. Din moment ce întregul număr de numere ratable este numărare și că grupul de numere reale nu este numărare, se poate spune că aproape toate numerele reale sunt iraționale.

Numerele raționale pot fi definite formal ca clase de echivalențe de perechi de întregi (p, q) astfel încât q ≠ 0 sau relația echivalentă definită de (p1, q1) (p2, q2) numai dacă p1, q2 = p2q1.

Numerele raționale, împreună cu adăugarea și multiplicarea, formează câmpuri care alcătuiesc numere întregi și sunt conținute de orice ramură care conține numere întregi.

Numerele irationale

Numerele iraționale sunt numere reale care nu sunt numere raționale; Numerele iraționale nu pot fi exprimate ca fracțiuni. Numerele raționale sunt numerele compuse din fracții de numere întregi.

Ca o consecință a probei lui Cantor că toate numerele reale sunt necunoscute și numerele raționale sunt numărate, se poate concluziona că aproape toate numerele reale sunt iraționale.

Când raza lungimii a două segmente de linie este un număr irațional, se poate spune că aceste segmente de linie sunt incomensurabile; ceea ce înseamnă că nu există o lungime suficientă, astfel încât fiecare dintre ele să poată fi "măsurată" cu un număr întreg mai mare.

Printre numerele iraționale se numără raza π a unei circumferințe a unui cerc la diametrul său, numărul Euler (e), numărul de aur (φ) și rădăcina pătrată a două; chiar mai mult, toate rădăcinile pătrate ale numerelor naturale sunt iraționale. Singura excepție de la această regulă sunt patratele perfecte.

Se poate observa că atunci când numerele iraționale sunt exprimate pozițional într-un sistem numeric (ca de exemplu în numere zecimale), ele nu se termină sau se repetă.

Aceasta înseamnă că acestea nu conțin o secvență de cifre, repetiția prin care se face o linie de reprezentare.

De exemplu: reprezentarea zecimală a numărului π începe cu 3.14159265358979, dar nu există un număr finit de cifre care să poată reprezenta π exact și nici nu poate fi repetat.

Dovada că extinderea zecimală a unui număr rațional trebuie să se termine sau să fie repetată este diferită de dovada că o extensie zecimal trebuie să fie un număr rațional; Deși de bază și oarecum lungi, aceste teste au ceva de lucru.

De obicei, matematicienii nu iau în general noțiunea de "încheiere sau repetare" pentru a defini conceptul unui număr rațional.

Numerele iraționale pot fi, de asemenea, tratate prin fracții non-continue.