Legile exponenților (cu exemple și exerciții rezolvate)

Legile exponenților sunt cele care se aplică acelui număr care indică de câte ori un număr de bază trebuie să fie înmulțit de unul singur. Exponenții sunt de asemenea cunoscuți drept puteri. Potențarea este o operație matematică constând dintr-o bază (a), exponentul (m) și puterea (b), care este rezultatul operației.

Exponenții sunt utilizați, în general, atunci când se folosesc cantități foarte mari, deoarece acestea sunt doar abrevieri care reprezintă multiplicarea aceluiași număr de un anumit număr de ori. Exponenții pot fi atât pozitivi, cât și negativi.

Explicarea legilor exponenților

Așa cum am afirmat mai devreme, exponenții sunt o formă abreviată care reprezintă multiplicarea numerelor în parte de mai multe ori, unde exponentul este legat numai de numărul din stânga. De exemplu:

23 = 2 * 2 * 2 = 8

În acest caz, numărul 2 reprezintă baza puterii, care va fi înmulțită de 3 ori, după cum indică exponentul, situat în colțul din dreapta sus al bazei. Există modalități diferite de citire a expresiei: 2 ridicate la 3 sau 2 ridicate la cub.

Exponenții indică și numărul de împărțiri și pentru a diferenția această operație de înmulțire, exponentul poartă semnul minus (-) în fața sa (este negativ), ceea ce înseamnă că exponentul este în numitorul unui fracțiune. De exemplu:

2-4 = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Acest lucru nu trebuie confundat cu cazul în care baza este negativă, deoarece va depinde de faptul dacă exponentul este par i sau ciudat pentru a determina dacă puterea va fi pozitivă sau negativă. Deci trebuie să:

- Dacă exponentul este egal, puterea va fi pozitivă. De exemplu:

(-7) 2 = -7 _* -7 = 49.

- Dacă exponentul este ciudat, puterea va fi negativă. De exemplu:

( - 2) 5 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Există un caz special în care, dacă exponentul este egal cu 0, puterea este egală cu 1. Există, de asemenea, posibilitatea ca baza să fie 0; în acest caz, în funcție de expus, puterea va fi nedeterminată sau nu.

Pentru a efectua operații matematice cu exponenții, este necesar să urmați mai multe reguli sau reguli care facilitează găsirea soluției pentru aceste operații.

Prima lege: puterea exponentului egală cu 1

Când exponentul este 1, rezultatul va fi aceeași valoare a bazei: a1 = a.

Exemple

91 = 9.

221 = 22.

8951 = 895.

A doua lege: puterea exponentului egală cu 0

Când exponentul este 0, dacă baza este diferită de zero, rezultatul va fi :, a0 = 1.

Exemple

10 = 1

3230 = 1.

10950 = 1.

A treia lege: exponent negativ

Deoarece exponatul este negativ, rezultatul va fi o fracțiune, unde puterea va fi numitorul. De exemplu, dacă m este pozitiv, atunci am = 1 / am.

Exemple

- 3-1 = 1/3.

- 6-2 = 1/62 = 1/36.

- 8-3 = 1/83 = 1/512.

A patra lege: multiplicarea puterilor cu o bază egală

Pentru a multiplica puterile în cazul în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este menținută și exponenții sunt adăugați: am _* an = am + n.

Exemple

- 44 _* 43 = 44 + 3 = 47

- 81 _* 84 = 81 + 4 = 85

- 22 _* 29 = 22 + 9 = 211

A cincea lege: împărțirea puterilor pe bază egală

Pentru a împărți puterile în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este menținută și exponenții sunt scăzuți după cum urmează: am / an = am-n.

Exemple

- 92/91 = 9 (2-1) = 91.

- 615/610 = 6 (15 - 10) = 65.

- 4912/496 = 49 (12-6) = 496.

A șasea lege: multiplicarea puterilor cu o bază diferită

În această lege avem opusul a ceea ce este exprimat în al patrulea; adică dacă avem baze diferite, dar cu exponenți egali, bazele sunt multiplicate și exponentul este menținut: am _* bm = (a _* b) m.

Exemple

- 102 _* 202 = (10 _* 20) 2 = 2002.

- 4511 _* 911 = (45 * 9) 11 = 40511.

O altă modalitate de a reprezenta această lege este atunci când o multiplicare este ridicată la o putere. Astfel, exponentul va aparține fiecărui termen: (a _* b) m = am _* bm.

Exemple

- (5 _* 8) 4 = 54 _* 84 = 404.

- (23 * 7) 6 = 236 _* 76 = 1616.

A șaptea lege: împărțirea puterilor cu o bază diferită

Dacă există baze diferite, dar cu exponenți egali, bazele sunt divizate și exponentul este menținut: am / bm = (a / b) m.

Exemple

- 303/23 = (30/2) 3 = 153.

- 4404/804 = (440/80) 4 = 5, 54.

De asemenea, atunci când o diviziune este ridicată la o putere, exponentul va aparține fiecărui termen: (a / b) m = am / bm.

Exemple

- (8/4) 8 = 88/48 = 28.

- (25/5) 2 = 252/52 = 52.

Există un caz în care exponentul este negativ. Deci, pentru a fi pozitiv, valoarea numărătorului este inversată cu cea a numitorului, în felul următor:

- (a / b) -n = (b / a) n = bn / an.

- (4/5) -9 = (5/4) 9 = 59/44.

A opta lege: puterea unei puteri

Când aveți o putere ridicată la o altă putere - adică doi exponenți în același timp - baza este menținută și exponenții se multiplică: (am) n = am * n.

Exemple

- (83) 2 = 8 (3 x 2) = 86.

- (139) 3 = 13 (9 * 3) = 1327.

- (23810) 12 = 238 (10 * 12) = 238120.

A noua lege: exponent fracțional

Dacă puterea are o fracțiune ca exponent, ea este rezolvată transformându-l într-o rădăcină n, unde numitorul rămâne ca exponent și numitorul reprezintă indicele rădăcină:

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Calculați operațiile între puterile care au diferite baze:

24 _* 44/82.

soluție

Aplicând regulile exponenților, în numărător baza se înmulțește și exponentul este menținut, după cum urmează:

24 _* 44/82 = (2 _* 4) 4/82 = 84/82

Acum, deoarece avem aceleași baze, dar cu exponenți diferiți, baza este menținută și exponenții sunt scutiți:

84/82 = 8 (4 - 2) = 82

Exercițiul 2

Calculați operațiunile dintre puterile mari la o altă putere:

(32) 3 _* (2 _* 65) -2 _* (22) 3

soluție

Aplicând legile, trebuie să:

(32) 3 _* (2 _* 65) -2 _* (22) 3

= 36 _* 2-2 _* 2-10 _* 26

= 36 _* 2 (-2) + (- 10) _* 26

= 36 _* 2-12 _* 26

= 36 _* 2 (-12) + (6)

= 36 _* 26

= (3 _* 2) 6

= 66

= 46, 656