Logică matematică: origine, ce studii, tipuri

Logica matematică sau logica simbolică este un limbaj matematic care cuprinde instrumentele necesare prin care raționamentul matematic poate fi afirmat sau respins.

Este bine cunoscut faptul că în matematică nu există ambiguități. Având în vedere un argument matematic, acesta este valabil sau pur și simplu nu este. Nu poate fi falsă și adevărată în același timp.

Un aspect particular al matematicii este acela că are o limbă formală și riguroasă prin care poate fi determinată validitatea unui raționament. Care este ceea ce face ca anumite raționamente sau orice dovadă matematică să fie incontestabile? Asta este logica matematică.

Astfel, logica este disciplina matematică care este responsabilă pentru studierea raționamentelor matematice și a demonstrațiilor și oferă instrumentele necesare pentru a putea deduce o concluzie corectă din declarațiile sau propunerile anterioare.

Pentru a face acest lucru, face uz de axiome și alte aspecte matematice care vor fi dezvoltate mai târziu.

Origine și istorie

Datele exacte cu privire la multe aspecte ale logicii matematice sunt incerte. Cu toate acestea, majoritatea bibliografiilor pe această temă urmăresc originea acestui fapt în Grecia antică.

Aristotel

Începutul tratamentului riguros al logicii este atribuit, în parte, Aristotelului, care a scris un set de lucrări de logică, care mai târziu au fost colectate și dezvoltate de diverși filozofi și oameni de știință, până în Evul Mediu. Aceasta ar putea fi considerată "vechea logică".

Apoi, în ceea ce se numește Era contemporană, Leibniz, mișcat de o dorință profundă de a stabili un limbaj universal pentru a raționa matematic, și alți matematicieni precum Gottlob Frege și Giuseppe Peano, au influențat foarte mult dezvoltarea logicii matematice cu contribuții mari, printre care Peano Axioms, care formulează proprietăți indispensabile ale numerelor naturale.

Matematicienii George Boole și Georg Cantor au avut, de asemenea, o mare influență în acest moment, cu contribuții importante în tabelele teoriei seturilor și al adevărurilor, subliniind printre altele și algebra booleană (de George Boole) și Axiom of Choice (de George Cantor)

Există, de asemenea, Augustus De Morgan, cu legile bine cunoscute ale lui Morgan, care contemplă negări, conjuncții, disjuncții și condiționări între propoziții, chei pentru dezvoltarea logicii simbolice și John Venn cu diagramele celebre ale lui Venn.

În secolul al XX-lea, aproximativ între 1910 și 1913, subliniază Bertrand Russell și Alfred North Whitehead cu publicarea Principia mathematica, un set de cărți care colectează, dezvoltă și postulează o serie de axiome și rezultate logice.

Ce înseamnă studiul logicii matematice?

propuneri

Logica matematică începe cu studiul propozițiilor. O afirmație este o afirmație că, fără o ambiguitate, se poate spune dacă este adevărată sau nu. Următoarele sunt exemple de propoziții:

• 2 + 4 = 6.
• 52 = 35.
• În anul 1930 a avut loc un cutremur în Europa.

Prima este o propunere adevărată, iar a doua este o propunere falsă. Al treilea, deși este posibil ca persoana care o citește să nu știe dacă este adevărată sau imediat, este o declarație care poate fi verificată și determinată dacă sa întâmplat într-adevăr sau nu.

Următoarele sunt exemple de expresii care nu sunt propoziții:

• Ea este blondă.
• 2x = 6
• Să jucăm!
• Îți plac filmele?

În prima propoziție, nu se specifică cine este "ea", deci nimic nu poate fi afirmat. În a doua propoziție, ceea ce este reprezentat de "x" nu a fost specificat. Dacă în schimb se spune că 2x = 6 pentru un număr natural x, în acest caz ar corespunde unei propoziții, de fapt adevărată, deoarece pentru x = 3 este îndeplinită.

Ultimele două afirmații nu corespund unei propoziții, deoarece nu există nici o modalitate de a le nega sau de a le afirma.

Două sau mai multe propoziții pot fi combinate (sau conectate) utilizând conectorii conectivi (sau conectorii) cunoscuți. Acestea sunt:

• Refuz: "Nu plouă".
• Disjuncție: "Luisa a cumpărat o pungă albă sau gri".
• Conjuncție: "42 = 16 și 2 × 5 = 10".
• Condiționat: "Dacă plouă, atunci nu mă duc la sala de gimnastică după-amiaza."
• Bicondio: "Mă duc la sala de gimnastică după-amiaza dacă și numai dacă nu plouă".

O propoziție care nu posedă nici una din conexiunile anterioare, se numește propoziție simplă (sau atomică). De exemplu, "2 este mai puțin de 4", este o propoziție simplă. Propozițiile care au unele conectivități se numesc propoziții compuse, de exemplu "1 + 3 = 4 și 4 este un număr par".

Declarațiile făcute prin propoziții sunt, de obicei, lungi, deci este greu să le scriem întotdeauna așa cum am văzut până acum. Din acest motiv, se folosește un limbaj simbolic. Propunerile sunt reprezentate de obicei prin majuscule, cum ar fi P, Q, R, S, etc. Iar conectivitatea simbolică, după cum urmează:

Așa

Reciprocitatea unei propoziții condiționate

este propunerea

Și contrapozitivul (sau contrapozitivul) unei propoziții

este propunerea

Tabelul cu adevăruri

Un alt concept important în logică este cel al tabelelor de adevăr. Valorile adevărului unei propoziții sunt cele două posibilități pe care le avem pentru o propoziție: adevărată (care va fi notată de V și vom spune că valoarea ei de adevăr este V) sau falsă (care va fi notată de F și se va spune că valoarea ei este într-adevăr F).

Valoarea adevărului unei propoziții compuse depinde exclusiv de valorile de adevăr ale propozițiilor simple care apar în ea.

Pentru a lucra mai general, nu vom lua în considerare propozițiile specifice, ci variabilele propoziționale p, q, r, s, etc., care vor reprezenta orice propoziții.

Cu aceste variabile și conectivitățile logice, formulele propoziționale bine-cunoscute se formează la fel cum sunt construite propoziții compuse.

Dacă fiecare variabilă care apare într-o formulă propozițională este înlocuită de o propoziție, se obține o propoziție compusă.

Mai jos sunt tabelele de adevăr pentru conectivitățile logice:

Există formule propoziționale care primesc numai valoarea V în tabelul lor de adevăr, adică ultima coloană a tabelului lor de adevăr are numai valoarea V. Acest tip de formule este cunoscut sub numele de tautologii. De exemplu:

Următorul este tabelul cu adevărat al formulei

Se spune că o formulă α implică logic o altă formulă β, dacă α este adevărată de fiecare dată când β este adevărată. Adică, în tabelul de adevăr al lui α și β, rândurile unde α are un V, β au și V. Se prezintă numai rândurile în care α au valoarea V. Notația implicării logice este următoarea :

Următorul tabel rezumă proprietățile implicării logice:

Se spune că două formule propoziționale sunt logic echivalente dacă tabelele lor de adevăr sunt identice. Următoarea notație este folosită pentru a exprima echivalența logică:

Următoarele tabele rezumă proprietățile echivalenței logice:

Tipuri de logică matematică

Există diferite tipuri de logică, mai ales dacă luăm în considerare logica pragmatică sau informală care indică filozofia, printre alte domenii.

În ceea ce privește matematica, tipurile de logică ar putea fi rezumate după cum urmează:

• O logică formală sau aristoteliană (logică antică).
• Logica propozițională: este responsabilă pentru studierea a tot ceea ce are legătură cu valabilitatea argumentelor și a propozițiilor folosind un limbaj formal și simbolic.
• Logica simbolică: se concentrează pe studiul seturilor și a proprietăților lor, de asemenea, cu un limbaj formal și simbolic și este profund legată de logica propozițională.
• Logica combinatorică: una dintre cele mai recent dezvoltate, implică rezultate care pot fi dezvoltate de algoritmi.
• Programare logică: folosită în diferitele pachete și limbi de programare.

zone

Printre domeniile care folosesc logica matematică într-un mod indispensabil în dezvoltarea raționamentelor și argumentelor lor, ele subliniază filosofia, teoria seturilor, teoria numerelor, matematica constructivă algebrică și limbile de programare.