Legile lui Morgan

Ochii Morgan sunt reguli de inferență folosite în logica propozițională, care stabilesc ceea ce este rezultatul negării unei disjuncții și a unei conjuncții între propoziții sau variabile propoziționale. Aceste legi au fost definite de matematicianul Augustus De Morgan.

Legile lui Morgan reprezintă un instrument foarte util pentru a demonstra valabilitatea unui raționament matematic. Mai târziu, acestea au fost generalizate în cadrul conceptului de seturi de matematicianul George Boole.

Această generalizare făcută de Boole este complet echivalentă cu legile inițiale ale lui Morgan, dar este dezvoltată în mod specific pentru seturi și nu pentru propoziții. Această generalizare este cunoscută și sub numele de legile lui Morgan.

Revizuirea logicii propoziționale

Înainte de a privi legile specifice ale Morgan și modul în care sunt folosite, este convenabil să vă amintiți câteva noțiuni de bază ale logicii propoziționale. (Pentru mai multe detalii vezi articolul despre logica propozițională).

În domeniul logicii matematice (sau propoziționale), o deducere este o concluzie care este emisă dintr-un set de premise sau ipoteze. Această concluzie, împreună cu premisele menționate mai sus, dau naștere la ceea ce se numește raționament matematic.

Acest raționament trebuie să poată fi demonstrat sau respins; adică nu toate concluziile sau concluziile dintr-un raționament matematic sunt valide.

aberație

O inferență falsă emisă de anumite ipoteze presupuse a fi adevărate este cunoscută ca o eroare. Fallaciile au particularitatea de a fi argumente care par corecte, dar din punct de vedere matematic, ele nu sunt.

Logica propozitiva este responsabila de dezvoltarea si furnizarea de metode prin care se poate valida sau respinge un rationament matematic fara nici o ambiguitate; ceea ce înseamnă a deduce o concluzie valabilă din premise. Aceste metode sunt cunoscute ca reguli de inferență, dintre care legile Morgan sunt parte.

propuneri

Elementele esențiale ale logicii propoziționale sunt propoziții. Propunerile sunt declarații despre care se poate spune dacă sunt valabile sau nu, dar nu pot fi adevărate sau false în același timp. Nu ar trebui să existe o ambiguitate în această chestiune.

La fel cum numerele pot fi combinate prin operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, propozițiile pot fi operate cu ajutorul logicii conectivității (sau conectorilor) cunoscute: negarea (, "nu"), disjuncția (V, "O"), conjuncție (Ʌ, "și"), condiționată (→, dacă ..., apoi ...) și bicondială (↔, da și numai dacă).

Pentru a lucra mai general, în loc de a lua în considerare anumite propoziții, luăm în considerare variabilele propoziționale care reprezintă orice propoziție și sunt de obicei indicate prin litere mici, p, q, r, s etc.

O formulă propozițională este o combinație a variabilelor propoziționale prin intermediul unor conectivități logice. Cu alte cuvinte, este o compoziție a variabilelor propoziționale. Ele sunt de obicei marcate cu litere grecești.

Se spune că o formulă propozițională implică logic o altă, când aceasta din urmă este adevărată de fiecare dată când prima este adevărată. Acest lucru este marcat de:

Atunci când implicația logică dintre două formule propoziționale este reciprocă - adică, atunci când implicația anterioară este valabilă și în direcția opusă - formulele se spune că sunt echivalente logic și sunt denotate de

Logica echivalenței este un fel de egalitate între formulele propoziționale și permite ca unul să fie înlocuit de celălalt atunci când este necesar.

Legile lui Morgan

Legile lui Morgan constau în două echivalențe logice între două forme propoziționale, și anume:

Aceste legi permit separarea negării unei disjuncții sau unei conjuncții, ca negări ale variabilelor implicate.

Primul poate fi citit după cum urmează: negarea unei disjuncții este egală cu conjuncția negărilor. Iar al doilea citește astfel: negarea unei conjuncții este disjuncția negărilor.

Cu alte cuvinte, negarea disjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu conjuncția negărilor ambelor variabile. De asemenea, negarea conjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu disjuncția negărilor ambelor variabile.

După cum sa menționat mai devreme, înlocuirea acestei echivalențe logice ajută la demonstrarea unor rezultate importante, împreună cu alte reguli existente de inferență. Cu acestea puteți simplifica multe formule propoziționale, astfel încât acestea să fie mai utile pentru a lucra cu.

Următoarele sunt un exemplu de dovadă matematică care utilizează reguli de inferență, printre aceste legi ale lui Morgan. Mai precis, se arată că formula:

este echivalent cu:

Acesta din urmă este mai simplu de înțeles și de dezvoltat.

spectacol

Merită menționat faptul că valabilitatea legilor Morgan poate fi demonstrată matematic. O modalitate constă în compararea tabelelor tale de adevăr.

seturi

Aceleași reguli de inferență și noțiunile de logică aplicate propunerilor pot fi de asemenea dezvoltate având în vedere seturile. Aceasta este ceea ce este cunoscut sub numele de algebră booleană, după matematicianul George Boole.

Pentru a diferenția cazurile, este necesar să schimbăm notația și transferul în seturi, toate noțiunile deja văzute ale logicii propoziționale.

Un set este o colecție de obiecte. Seturile sunt notate cu majuscule A, B, C, X, ... și elementele unui set sunt notate cu litere mici, a, b, c, x, etc. Atunci când un element a aparține unui set X, el este notat cu:

Când nu aparține lui X, notația este:

Modul de reprezentare a seturilor este plasarea elementelor lor în interiorul tastelor. De exemplu, setul de numere naturale este reprezentat de:

Seturile pot fi reprezentate și fără a scrie o listă explicită a elementelor lor. Ele pot fi exprimate sub forma {:}. Cele două puncte sunt citite "astfel încât". O variabilă reprezentând elementele setului este plasată în partea stângă a celor două puncte, iar proprietatea sau condiția pe care le îndeplinesc este plasată pe partea dreaptă. Aceasta este:

De exemplu, setul de numere întregi mai mare de -4 poate fi exprimat ca:

Sau echivalent, și mai abreviat, ca:

În mod similar, următoarele expresii reprezintă seturile de numere perene și paralele, respectiv:

Uniunea, intersecția și completarea seturilor

În continuare vom vedea analogii conectivității logice în cazul seturilor, care fac parte din operațiunile de bază dintre seturi.

Uniunea și intersecția

Sindicatul și intersecția seturilor sunt definite, respectiv, în modul următor:

De exemplu, luați în considerare seturile:

Apoi, trebuie:

complement

Completul unui set este format din elementele care nu aparțin acelui set (de același tip pe care îl reprezintă originalul). Complementul unui set A, este notat cu:

De exemplu, în cadrul numerelor naturale, complementul setului de numere parțiale este acela al numerelor impare și invers.

Pentru a determina completarea unui set, trebuie să fie clar de la început setul universal sau principal de elemente care sunt luate în considerare. De exemplu, nu este egal să considerăm completarea unui set asupra numerelor naturale pe cele raționale.

Următorul tabel prezintă relația sau analogia care există între operațiile asupra seturilor predefinite și cele conexe ale logicii propoziționale: