Motivul lui Moivre: ce constă, demonstrație și exerciții

Teorema lui Moivre aplică procese fundamentale de algebră, cum ar fi puterile și extragerea rădăcinilor în numere complexe. Teorema a fost enunțată de renumitul matematician francez Abraham de Moivre (1730), care a asociat numere complexe cu trigonometrie.

Abraham Moivre a făcut această asociere prin expresiile de sân și cosinus. Acest matematician a generat un fel de formulă prin care este posibil să se ridice un număr complex pentru puterea n, care este un întreg pozitiv mai mare sau egal 1.

Care este teorema lui Moivre?

Teorema lui Moivre prevede următoarele:

Dacă avem un număr complex în forma polară z = r _Ń, unde r este modulul numărului complex z, iar unghiul Ń se numește amplitudinea sau argumentul oricărui număr complex cu 0 ≤ Ń ≤ 2π, pentru a calcula n- Această putere nu va fi necesară pentru a se multiplica de la sine ori de câte ori; care este, nu este necesar să se facă următorul produs:

Zn = z _* z _* z _*. _. _{. *} z = r _* _* _{* * * * * *.} _. _{. *} r-n-ori.

Dimpotrivă, teorema spune că atunci când scriem z în formă trigonometrică, pentru a calcula puterea n, procedăm după cum urmează:

Dacă z = r (cos Ń + i _* sin Ń), atunci zn = rn (cos n * Ń + i _* sin n * Ń).

De exemplu, dacă n = 2, atunci z2 = r2 [cos 2 (Ń) + i sin 2 (Ń)]. Dacă ai n = 3, atunci z3 = z2 _* z. În plus:

z3 = r2 [cos 2 (Ń) + i sin 2 (Ń)] _* r [cos 2 (Ń) + i sin 2 (Ń)] = r3 [cos 3 (Ń) + i sin 3 (Ń)].

În acest fel, rapoartele trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi obținute pentru multipli de unghi, atâta timp cât sunt cunoscuți raporturile trigonometrice ale unghiului.

În același mod, ea poate fi folosită pentru a găsi expresii mai precise și mai puțin confuze pentru a rădăcina n a unui număr complex z, astfel încât zn = 1.

Pentru a demonstra teorema lui Moivre, se folosește principiul inducerii matematice: dacă un întreg "a" are o proprietate "P" și dacă pentru orice număr întreg "n" mai mare decât "a" cu proprietatea "P" satisface că n + 1 are și proprietatea "P", astfel încât toate numerele întregi mai mari sau egale cu "a" au proprietatea "P".

spectacol

În acest fel, dovada teoremei se face cu următorii pași:

Baza inductiva

Verificați mai întâi pentru n = 1.

Deoarece z1 = (r (cos Ń + i _* sin Ń)) 1 = r1 (cos Ń + i _* sin Ń) 1 = r1 [cos (1 _* Ń) + i _* sin că pentru n = 1 teorema este îndeplinită.

Ipoteza inductivă

Se presupune că formula este adevărată pentru un întreg întreg pozitiv, adică n = k.

= kk (cosk + i _* sin sin)) k = rk (cos k θ + i _* sin k Ń).

testarea

Se dovedește a fi adevărat pentru n = k + 1.

Din moment ce z + 1 = zk _* z, atunci zk + 1 = (r (cos Ń + i _* sin Ń)) k + 1 = rk (cos k θ + sin sin) .

Apoi expresiile se înmulțesc:

(1) sin (1) = (1) (1) (1) (1) )).

Pentru un moment, factorul rk + 1 este ignorat și factorul comun i este extras:

(costic) _* (costic) + i (cos kıt) _* (sinti) + i (sin kı) _* (cosŃ) + i2 (sin kı) _* (sinŃ).

Ca i2 = -1, îl înlocuim în expresie și obținem:

(costic) _* (cosŃ) + i (cos kŃ) _* (sinŃ) + i (sin kŃ) _* (cosŃ) - (sin kŃ) _* (sinŃ).

Acum, piesa reală și cea imaginară sunt ordonate:

(cos k t) _* (costi) - (sin k t) _* (sinti) + i [(sin k t) _* (costi) + (cos k t) _* (sinti)].

Pentru a simplifica expresia, se aplică identitățile trigonometrice ale sumelor de unghiuri pentru cosinus și sinus, care sunt:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

În acest caz, variabilele sunt unghiurile Ń și kŃ. Aplicând identitățile trigonometrice, avem:

cos kŃ _* cosŃ - sin kı _* senŃ = cos (kŃ + Ń)

sin kı _* cosŃ + cos kŃ _* sinŃ = sin (kŃ + Ń)

În acest fel, expresia rămâne:

(1) (1) (1) (1) (1)

(+ k + 1) + 1 (cos [(k +1) Ń] + i _* sin [(k +1) Ń]).

Astfel, s-ar putea arăta că rezultatul este adevărat pentru n = k + 1. Prin principiul inducției matematice, se concluzionează că rezultatul este valabil pentru toți numerele întregi pozitive; adică, n ≥ 1.

Integer negativ

Motivația lui Moivre se aplică și atunci când n ≤ 0. Luați în considerare un întreg negativ «n»; atunci "n" poate fi scris ca "-m", adică, n = -m, unde "m" este un număr întreg pozitiv. Prin urmare:

(cos Ń + i _* sin Ń) n = (cos Ń + i _* sin Ń) -m

Pentru a obține pozitiv exponentul "m", expresia este scrisă invers:

(cos Ń + i _* sin sin) n = 1 ÷ (cos Ń + i _* sin Ń) m

(cos Ń + i _* sin sin) n = 1 ÷ (cos mŃ + i _* sin mŃ)

Acum, se folosește faptul că dacă z = a + b * i este un număr complex, atunci 1 ÷ z = ab * i. Prin urmare:

(cos Ń + i _* sin sin) n = cos (mŃ) - i _* sin (mŃ).

Folosind cos (x) = cos (-x) și -sen (x) = sin (-x), trebuie să:

(cos Ń + i _* sin Ń) n = [cos (mŃ) - i _* sin (mŃ)]

(cos + i _* sin sin) n = cos (- m) + i _* sin (-m)

(cos Ń + i _* sin Ń) n = cos (nŃ) - i _* sin (nŃ).

În acest fel, se poate spune că teorema se aplică tuturor valorilor întregi ale "n".

Exerciții rezolvate

Calculul puterilor pozitive

Una dintre operațiile cu numere complexe în forma sa polare este multiplicarea dintre două dintre acestea; în acest caz, modulele se înmulțesc și se adaugă argumentele.

Dacă aveți două numere complexe z _{1 și} z ₂ și doriți să calculați (z ₁ * z ₂ ) 2, procedați după cum urmează:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ń ₁ + i _* sin Ń ₁ )] * [r ₂ (cos Ń ₂ + i _* sin Ń ₂ )]

Proprietatea distributivă este aplicată:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ń _{1 *} cos Ń ₂ + i _* cos Ń _{1 *} i _* sin sin ₂ + i _* sin Ń _{1 *} cos Ń ₂ + i2 _* sin Ń _{1 *} sinŃ ₂ ) .

Acestea sunt grupate, luând termenul "i" ca un factor comun de exprimare:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos þ _{1 *} cos þ ₂ + i (cos þ _{1 *} sin ₂ + sin þ _{1 *} cos þ ₂ ) + i2 _* sin þ _{1 *} sin þ ₂ ]

Deoarece i2 = -1, ea este substituită în expresie:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos þ _{1 *} cos þ ₂ + i (cos þ _{1 *} sin þ ₂ + sin þ _{1 *} cos þ ₂ ) - sin þ _{1 *} sin þ ₂ ]

Termenii reali sunt regrupați cu real și imaginar cu imaginar:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos þ _{1 *} cos þ ₂ - sin þ _{1 *} sin þ ₂ ) + i (cos þ _{1 *} sin þ ₂ + sin þ _{1 *} cos þ ₂ )

În cele din urmă, se aplică proprietățile trigonometrice:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (þ ₁ + þ ₂ ) + i sin (þ ₁ + þ ₂ )].

În concluzie:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ń ₁ + Ń ₂ ) + i sin (Ń ₁ + Ń ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ń ₁ + Ń ₂ ) + i sin 2 * (Ń ₁ + Ń ₂ )].

Exercițiul 1

Scrieți numărul complex în formă polară dacă z = - 2 -2i. Apoi, folosind teorema lui Moivre, calculează z4.

soluție

Numărul complex z = -2 -2i este exprimat în forma dreptunghiulară z = a + bi, unde:

a = -2.

b = -2

Cunoscând că forma polare este z = r (cos Ń + i _* sin Ń), trebuie să determinăm valoarea modulului «r» și valoarea argumentului «Ń». Ca r = √ (a² + b²), valorile date sunt înlocuite:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Apoi, pentru a determina valoarea lui «Ń», se aplică forma dreptunghiulară a acesteia, dată de formula:

tan Ń = b ÷ a

tan Ń = (-2) ÷ (-2) = 1.

Din moment ce tan (þ) = 1 și aveți la <0, atunci trebuie să:

Ń = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Deoarece valoarea "r" și "Ń" a fost deja obținută, numărul complex z = -2 -2i poate fi exprimat în forma polară prin înlocuirea valorilor:

z = 2√2 (cos (5π / 4) + i _* sin (5π / 4)).

Acum se utilizează teorema Moivre pentru a calcula z4:

z4 = 2√2 (cos (5π / 4) + i _* sin (5π / 4)) 4

= 32 (cos (5π) + i _* sin (5π)).

Exercițiul 2

Găsiți produsul numerelor complexe exprimându-l în forma sa polare:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Apoi, calculați (z1 * z2) ².

soluție

Mai întâi se formează produsul numerelor date:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Apoi multiplicați modulele împreună și adăugați argumentele:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

Expresia este simplificată:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

În cele din urmă, se aplică teorema lui Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Calculul puterilor negative

Pentru a împărți două numere complexe z _{1 și} z ₂ în forma lor polare, modulul este împărțit și argumentele sunt scăzute. Astfel, coeficientul este z ₁ ÷ z ₂ și este exprimat după cum urmează:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (þ ₁ - þ ₂ ) + i sin (þ ₁ - þ ₂ )]).

Ca și în cazul precedent, dacă doriți să calculați (z1 ÷ z2) ³ mai întâi se face diviziunea și apoi se utilizează teorema Moivre.