Sistemul Octal: istoric, sistem de numerotare și conversii

Sistemul octal este un sistem de numerotare pozițională de bază opt (8); adică este alcătuită din opt cifre, care sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7. Prin urmare, fiecare cifră a unui număr octal poate avea orice valoare de la 0 la 7. Numerele octale ele sunt formate din numere binare.

Acest lucru se datorează faptului că baza sa este o putere exactă de două (2). Adică, numerele care aparțin sistemului octal se formează atunci când sunt grupate în trei cifre consecutive, aranjate de la dreapta la stânga, obținându-se în acest fel valoarea lor zecimal.

istorie

Sistemul octal are originea în antichitate, când oamenii și-au folosit mâinile pentru a număra opt până la opt animale.

De exemplu, pentru a număra numărul de vaci dintr-un hambar, a început să conteze pe mâna dreaptă, adunând degetul mare cu degetul mic; apoi pentru a număra cel de-al doilea animal, degetul mare a fost alăturat cu degetul arătător și așa mai departe cu degetele rămase ale fiecărei mâini, până la completarea lui 8.

Există posibilitatea ca în antichitate sistemul de numerotare octal să fi fost folosit înainte de zecimală pentru a putea conta spațiile interdigital; care contează toate degetele, cu excepția degetelor.

Ulterior a fost creat sistemul de numerotare octal, care a provenit din sistemul binar, pentru că are nevoie de mai multe cifre pentru a reprezenta un singur număr; de atunci, s-au creat sistemele octogonale și hexagonale, care nu necesită atât de multe cifre și pot fi ușor convertite în sistemul binar.

Sistemul de numerotare octal

Sistemul octal constă din opt cifre care variază de la 0 la 7. Acestea au aceeași valoare ca și în cazul sistemului zecimal, dar valoarea lor relativă se modifică în funcție de poziția pe care o ocupă. Valoarea fiecărei poziții este dată de puterile de bază 8.

Pozițiile cifrelor într-un număr octal au următoarele greutăți:

84, 83, 82, 81, 80, punct octal, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5.

Cea mai mare cifră octală este de 7; în acest fel, când se înregistrează acest sistem, o poziție de o cifră este mărită de la 0 la 7. Când ajunge la 7, acesta este reciclat la 0 pentru următorul număr; în acest fel se mărește următoarea poziție a cifrei. De exemplu, pentru a număra secvențe, în sistemul octal va fi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
53, 54, 55, 56, 57, 60.
375, 376, 377, 400.

Există o teoremă fundamentală care se aplică sistemului octal și se exprimă după cum urmează:

În această expresie di reprezintă cifra înmulțită cu puterea de bază 8, care indică valoarea poziției fiecărei cifre, la fel cum este comandată în sistemul zecimal.

De exemplu, aveți numărul 543.2. Pentru a ajunge la sistemul octal se descompune în felul următor:

N = Σ [(5 _* 82) + (4 _* 81) + (3x80) + (2 _* 8-1)] = 2 * 0, 125)

N = 320 +32 + 2 + 0, 25 = 354 + 0, 25 _d

În acest fel aveți 543, 2 _q = 354, 25 _d . Indicele q indică faptul că este un număr octal care poate fi reprezentat și de numărul 8; iar indicele d se referă la numărul zecimal, care poate fi reprezentat și de numărul 10.

Conversia sistemului octal la zecimal

Pentru a converti un număr sistem octalic la echivalentul său în sistemul zecimal, trebuie să înmulțiți fiecare cifră octală cu valoarea locului, pornind de la dreapta.

Exemplul 1

732 ₈ = (7 _* 82) + (3 _* 81) + (2 _* 80) = (7 _* 64) + (3 _* 8)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Exemplul 2

26, 9 ₈ = (2 _* 81) + (6 _* 80) + (9 _* 8-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1)

26, 9 ₈ = 16 + 6 + 1, 125

26, 9 ₈ = 23, 125 ₁₀

Conversia sistemului zecimal la octal

Un număr zecimal poate fi convertit la un număr octal folosind metoda divizării repetate, unde întregul zecimal este împărțit la 8 până când coeficientul este egal cu 0, iar reziduurile fiecărei diviziuni vor reprezenta numărul octal.

Deșeurile sunt sortate de la ultimul la primul; adică primul reziduu va fi cifra cea mai puțin semnificativă a numărului octal. În acest fel, cifra cea mai semnificativă va fi ultimul reziduu.

exemplu

Octal cu numărul zecimal 266 ₁₀

- Împărțiți numărul zecimal 266 între 8 = 266/8 = 33 + reziduu de 2.

- Apoi, 33 este împărțit la 8 = 33/8 = 4 + reziduu de 1.

- Împărțiți 4 cu 8 = 4/8 = 0 + reziduu de 4.

Ca și în ultima diviziune se obține un coeficient mai mic decât 1, înseamnă că rezultatul a fost găsit; numai resturile trebuie ordonate în ordine inversă, astfel încât numărul octal al zecimal 266 este 412, după cum se poate vedea în imaginea următoare:

Conversia sistemului octal la binar

Convertirea sistemului octal la binar se realizează prin conversia cifrei octale la cifra sa binară echivalentă, formată din trei cifre. Există un tabel care arată modul în care cele opt cifre posibile sunt convertite:

Din aceste conversii, orice număr de la sistemul octal până la binar poate fi schimbat, de exemplu, pentru a converti numărul 572, ₈ echivalentele sale sunt căutate în tabel. Deci, trebuie:

5 = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Prin urmare, 572 _{8 este} echivalent în sistemul binar la 10111110.

Conversia sistemului binar la octal

Procesul de conversie a întregilor binari la numere întregi este operația inversă a procesului precedent.

Adică, biții numărului binar sunt grupați în două grupe de câte trei biți, începând de la dreapta la stânga. Apoi, conversia binară până la octuală se face cu tabelul precedent.

În unele cazuri numărul binar nu va avea grupuri de 3 biți; pentru ao completa, una sau două zerouri sunt adăugate în partea stângă a primului grup.

De exemplu, pentru a schimba numărul binar 11010110 la octal, se face următoarele:

- Se formează grupuri de 3 biți pornind de la dreapta (ultimul bit):

11010110

- Deoarece primul grup este incomplet, la stânga se adaugă un zero:

011010110

- conversia se face din tabel:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Astfel, numărul binar 011010110 este echivalent cu 326 ₈ .

Conversia sistemului octal la hexazecimal și invers

Pentru a face schimbarea de la un număr octal la un sistem hexazecimal sau de la hexazecimal la octal, este necesar ca numărul să fie mai întâi convertit în binar și apoi la sistemul dorit.

Pentru aceasta există un tabel în care fiecare cifră hexazecimală este reprezentată cu echivalența sa în sistemul binar, constând din patru cifre.

În unele cazuri, numărul binar nu va avea grupuri de 4 biți; pentru ao completa, adăugați una sau două zerouri în partea stângă a primului grup