Distribuții de probabilități discrete: Caracteristici și exerciții

Distribuțiile de probabilități discrete sunt o funcție care atribuie fiecărui element al lui X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, unde X este o variabilă aleatoare discret dată și S este spațiul eșantionului său, probabilitatea că evenimentul menționat apare. Această funcție f a lui X (S) definită ca f (xi) = P (X = xi) este denumită uneori funcția de masă a probabilității.

Această masă de probabilități este de obicei reprezentată ca o masă. Deoarece X este o variabilă aleatoare discret, X (S) are un număr finit de evenimente sau o infinitate numărare. Dintre cele mai comune distribuții de probabilități discrete avem distribuția uniformă, distribuția binomică și distribuția Poisson.

caracteristici

Funcția de distribuție a probabilității trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

În plus, dacă X ia doar un număr finit de valori (de exemplu x1, x2, ..., xn), atunci p (xi) = 0 dacă i> ny, prin urmare, seria infinită de condiție b devine serii finite.

Această funcție îndeplinește și următoarele proprietăți:

Fie B un eveniment asociat variabilei aleatoare X. Aceasta înseamnă că B este conținut în X (S). Mai exact, să presupunem că B = {xi1, xi2, ...}. Prin urmare:

Cu alte cuvinte, probabilitatea unui eveniment B este egală cu suma probabilităților rezultatelor individuale asociate cu B.

Din aceasta putem concluziona că dacă a <b, evenimentele (X ≤ a) și (a <X ≤ b) se exclud reciproc și, în plus, uniunea lor este evenimentul (X ≤ b)

tip

Distribuția uniformă pe n puncte

Se spune că o variabilă aleatoare X urmărește o distribuție caracterizată prin faptul că este uniformă în n puncte dacă fiecărei valori li se atribuie aceeași probabilitate. Funcția de masă a probabilității este:

Să presupunem că avem un experiment care are două rezultate posibile, poate fi aruncarea unei monede a cărei rezultate posibile sunt chip sau ștampilă sau alegerea unui număr întreg al cărui rezultat poate fi un număr par sau un număr impar; Acest tip de experiment este cunoscut sub numele de teste Bernoulli.

În general, cele două rezultate posibile se numesc succes și eșec, unde p este probabilitatea succesului și 1-p ca eșec. Putem determina probabilitatea succeselor x în testele Bernoulli independente unul de celălalt cu următoarea distribuție.

Distribuția binomială

Funcția respectivă reprezintă probabilitatea de a obține succese x în n teste Bernoulli independente, a căror probabilitate de succes este p. Funcția de masă a probabilității este:

Graficul următor reprezintă funcția de masă a probabilității pentru diferite valori ale parametrilor distribuției binomiale.

Următoarea distribuție își datorează numele matematicianului francez Simeon Poisson (1781-1840), care la obținut ca limită a distribuției binomiale.

Distribuție Poisson

Se spune că o variabilă aleatoare X are o distribuție Poisson a parametrului λ atunci când poate lua valorile întregi pozitive 0, 1, 2, 3, ... cu următoarea probabilitate:

În această expresie λ este numărul mediu corespunzător evenimentelor evenimentului pentru fiecare unitate de timp, iar x este numărul de apariții ale evenimentului.

Funcția de masă a probabilității este:

În continuare, un grafic care reprezintă funcția de masă a probabilității pentru diferite valori ale parametrilor distribuției Poisson.

Rețineți că, atâta timp cât numărul de succese este scăzut și numărul n de teste efectuate într-o distribuție binomică este mare, putem aproxima întotdeauna aceste distribuții, deoarece distribuția Poisson este limita distribuției binomiale.

Principala diferență dintre aceste două distribuții este că, în timp ce binomul depinde de doi parametri - și anume, n și p, Poisson-ul depinde numai de λ, care este uneori numit intensitatea distribuției.

Până acum, am vorbit doar despre distribuția probabilităților pentru cazurile în care diferitele experimente sunt independente una de alta; adică atunci când rezultatul unuia nu este afectat de un alt rezultat.

Când apare cazul experimentelor care nu sunt independente, distribuția hipergeometrică este foarte utilă.

Distribuția hipergeometrică

Fie N numarul total de obiecte dintr-un set finit, din care putem identifica ak din acestea intr-un fel, formand astfel un subset K, al carui complement este format de restul elementelor Nk.

Dacă alegem aleatoriu n obiecte, variabila aleatoare X care reprezintă numărul de obiecte care aparțin lui K în alegeri are o distribuție hipergeometrică a parametrilor N, n și k. Funcția de masă a probabilității este:

Graficul următor reprezintă funcția de masă a probabilității pentru diferite valori ale parametrilor distribuției hipergeometrice.

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Să presupunem că probabilitatea ca un tub radio (pus într-un anumit tip de echipament) să funcționeze mai mult de 500 de ore este de 0, 2. Dacă se testează 20 de tuburi, care este probabilitatea ca exact k din acestea să funcționeze mai mult de 500 de ore, k = 0, 1, 2, ..., 20?

soluție

Dacă X este numărul de tuburi care funcționează mai mult de 500 de ore, vom presupune că X are o distribuție binomială. atunci

Și așa:

Pentru k≥11, probabilitățile sunt mai mici decât 0, 001

Deci, putem vedea cum crește probabilitatea ca aceste k să funcționeze mai mult de 500 de ore, până când atinge valoarea maximă (cu k = 4) și apoi începe să scadă.

Al doilea exercițiu

O monedă este aruncată de 6 ori. Când rezultatul este scump, vom spune că este un succes. Care este probabilitatea ca două fețe să iasă exact?

soluție

Pentru acest caz, avem n = 6 și atât probabilitatea de succes, cât și eșecul sunt p = q = 1/2

Prin urmare, probabilitatea de a da două fețe (adică k = 2) este de

Al treilea exercițiu

Care este probabilitatea de a găsi cel puțin patru fețe?

soluție

În acest caz, avem k = 4, 5 sau 6

Al treilea exercițiu

Să presupunem că 2% din articolele produse într-o fabrică sunt defecte. Găsiți probabilitatea P că există trei elemente defecte într-un eșantion de 100 de articole.