Bayes Teorema: explicații, aplicații, exerciții

Teorema lui Bayes este o procedură care ne permite să exprimăm probabilitatea condiționată a unui eveniment aleatoriu A dată B, în ceea ce privește repartizarea probabilității evenimentului B dat de A și distribuția de probabilitate doar a lui A.

Această teoremă este foarte utilă, deoarece datorită acesteia putem relaționa probabilitatea ca un eveniment A să apară știind că a apărut B, cu probabilitatea apariției opusului, adică B care apare dat A.

Teorema lui Bayes a fost o propunere de argint a reverendului Thomas Bayes, un teolog englez din secolul al optsprezecelea, care era și matematician. El a fost autorul mai multor lucrări în teologie, dar este cunoscut în prezent pentru câteva tratate matematice, dintre care teorema Bayes menționată mai sus se remarcă ca principalul rezultat.

Bayes sa ocupat de această teoremă într-o lucrare intitulată "Un eseu spre rezolvarea unei probleme în doctrina șanselor", publicat în 1763, și pe care au fost elaborate lucrări mari pentru a rezolva o problemă în doctrina posibilităților. Studii cu aplicații în diferite domenii ale cunoașterii.

explicație

În primul rând, pentru o mai bună înțelegere a acestei teoreme, sunt necesare câteva noțiuni de bază ale teoriei probabilității, în special teorema de multiplicare pentru probabilitatea condiționată, care prevede că

Pentru evenimentele E și A arbitrare ale unui spațiu eșantion S.

Și definiția partițiilor, care ne spune că dacă avem A ₁, A ₂, ..., A _n evenimente ale unui spațiu eșantion S, acestea vor forma o partiție de S, dacă A _i sunt reciproc exclusive și uniunea lor este S.

Având acest lucru, B să fie un alt eveniment. Atunci putem vedea B ca

Unde A _i intersectat cu B sunt evenimente care se exclud reciproc.

Și, prin urmare,

Apoi, aplicând teorema de multiplicare

Pe de altă parte, probabilitatea condiționată a lui Ai dată de B este definită de

Înlocuindu-ne în mod adecvat trebuie să facem pentru orice

Aplicații ale teoremei Bayes

Datorită acestui rezultat, grupurile de cercetare și diversele corporații au reușit să îmbunătățească sistemele bazate pe cunoaștere.

De exemplu, în studiul bolilor, teorema lui Bayes poate ajuta la identificarea probabilității ca o boală să se găsească într-un grup de persoane cu o anumită caracteristică, luând ca date ratele globale ale bolii și predominanța respectivelor caracteristici în oameni sănătoși și bolnavi.

Pe de altă parte, în lumea tehnologiilor înalte, a influențat companiile mari care s-au dezvoltat, datorită acestui rezultat, software-ului "Bazat pe cunoaștere".

Ca exemplu de zi cu zi avem asistentul Microsoft Office. Teorema Bayes ajută software-ul să evalueze problemele pe care le prezintă utilizatorul și să determine ce sfaturi să le ofere și astfel să poată oferi un serviciu mai bun în funcție de obiceiurile utilizatorului.

Trebuie remarcat faptul că această formulă a fost ignorată până în ultima vreme, aceasta datorându-se în special faptului că, atunci când acest rezultat a fost dezvoltat acum 200 de ani, nu a existat prea multă practică pentru ei. Cu toate acestea, în zilele noastre, datorită marilor progrese tehnologice, oamenii de știință au realizat modalități de a pune acest rezultat în practică.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

O companie celulară are două mașini A și B. 54% din telefoanele mobile produse sunt fabricate de mașina A, iar restul de mașina B. Nu toate telefoanele mobile produse sunt în stare bună.

Proporția telefoanelor mobile defecte realizate de către A este de 0, 2 și de B este de 0, 5. Care este probabilitatea ca un telefon mobil al fabricii menționate să fie defect? Care este probabilitatea ca, știind că un telefon mobil este defect, vine de la mașina A?

soluție

Aici aveți un experiment care se face în două părți; în prima parte apar evenimentele:

A: telefon mobil realizat de aparatul A.

B: telefon mobil realizat de aparatul B.

Deoarece aparatul A produce 54% din telefoanele mobile, iar restul este produs de mașina B, aparatul B produce 46% din telefoanele mobile. Probabilitățile acestor evenimente sunt date, și anume:

P (A) = 0, 54.

P (B) = 0, 46.

Evenimentele celei de-a doua părți a experimentului sunt:

D: telefon mobil defect

E: telefon mobil fără defecte.

Așa cum se spune în declarație, probabilitățile acestor evenimente depind de rezultatul obținut în prima parte:

P (D | A) = 0, 2.

P (D | B) = 0, 5.

Utilizând aceste valori, puteți determina și probabilitățile complementare ale acestor evenimente, și anume:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

și

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0, 5.

Acum, evenimentul D poate fi scris după cum urmează:

Folosind teorema de multiplicare pentru probabilitatea condiționată, rezultă:

Cu privire la care se răspunde la prima întrebare.

Acum trebuie doar să calculam P (A | D), pentru care se aplică teorema lui Bayes:

Datorită teoremei lui Bayes, se poate spune că probabilitatea ca un telefon mobil să fie făcută de mașina A, știind că telefonul mobil este defect, este de 0, 319.

Exercițiul 2

Trei cutii conțin bile alb și negru. Compoziția fiecăruia dintre ele este următoarea: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Una dintre cutii este aleasă la întâmplare și din aceasta este extrasă o minge aleatoare, care se dovedește a fi albă. Care caseta este cel mai probabil să fi fost aleasă?

soluție

Cu ajutorul U1, U2 și U3, vom reprezenta și caseta aleasă.

Aceste evenimente constituie o partiție a lui S și se verifică că P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 deoarece alegerea căsuței este aleatorie.

Dacă B = {balonul extras este alb), vom avea P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Ceea ce dorim să obținem este probabilitatea ca mingea să fie scoasă din cutie Ui știind că mingea a fost albă, adică P (Ui | B), și să vedem care dintre cele trei valori a fost cea mai înaltă pentru a ști care caseta a fost mai probabil extracția mingii albe.

Aplicarea teoremei Bayes la primul dintre cutii: