Motivația algebrică (cu exerciții rezolvate)
Argumentarea algebrică constă, în esență, în comunicarea unui argument matematic printr-o limbă specială, care o face mai riguroasă și mai generală, făcând uz de variabilele algebrice și de operațiile definite între ele. O caracteristică a matematicii este rigiditatea logică și tendința abstractă folosită în argumentele ei.
Pentru aceasta este necesar să cunoaștem "gramatica" corectă care ar trebui folosită în această scriere. În plus, raționamentul algebric evită ambiguitățile în justificarea unui argument matematic, care este esențial pentru a demonstra orice rezultat în matematică.
Variabile algebrice
O variabilă algebrică este pur și simplu o variabilă (o literă sau un simbol) care reprezintă un anumit obiect matematic.
De exemplu, literele x, y, z sunt folosite de obicei pentru a reprezenta numerele care satisfac o ecuație dată; literele p, qr, pentru a reprezenta formule propoziționale (sau literele lor majore pentru a reprezenta propoziții specifice); și literele A, B, X, etc., pentru a reprezenta seturi.
Termenul "variabilă" subliniază faptul că obiectul în cauză nu este fix, dar variază. Acesta este cazul unei ecuații în care variabilele sunt folosite pentru a determina soluțiile care, în principiu, nu sunt cunoscute.
În termeni generali, o variabilă algebrică poate fi considerată ca o literă care reprezintă un obiect, indiferent dacă este fix sau nu.
Așa cum variabilele algebrice sunt folosite pentru a reprezenta obiectele matematice, putem lua în considerare și simbolurile pentru a reprezenta operațiile matematice.
De exemplu, simbolul "+" reprezintă operația "suma". Alte exemple sunt diferitele notații simbolice ale conectivității logice în cazul propozițiilor și seturilor.
Expresii algebrice
O expresie algebrică este o combinație de variabile algebrice prin intermediul operațiilor definite anterior. Exemple sunt operațiile de bază ale adunării, scăderii, multiplicării și împărțirii între numere sau conectivitate logică în propoziții și seturi.
Argumentarea algebrică este responsabilă pentru exprimarea unui argument sau a unui argument matematic prin intermediul unor expresii algebrice.
Această formă de expresie contribuie la simplificarea și abrevierea scrisului, deoarece face uz de notații simbolice și ne permite să înțelegem mai bine raționamentul, prezentându-l într-un mod mai clar și mai precis.
Exemple
Să vedem câteva exemple care arată cum este folosit raționamentul algebric. Foarte regulat este folosit pentru a rezolva probleme logice și de raționament, așa cum vom vedea în curând.
Luați în considerare renumita propoziție matematică "suma celor două numere este comutativă". Să vedem cum putem să exprimăm această propoziție algebric: cu două cifre "a" și "b", ceea ce înseamnă această propoziție este că a + b = b + a.
Argumentarea folosită pentru a interpreta propoziția inițială și a o exprima în termeni algebrici este un raționament algebric.
Am putea menționa, de asemenea, faimoasa expresie "ordinea factorilor nu modifică produsul", care se referă la faptul că produsul a două numere este de asemenea comutativ și exprimat algebric ca axb = bxa.
În mod analog, proprietățile asociative și distributive pentru suma și produsul pot fi exprimate (și, de fapt, exprimate) algebric, în care sunt incluse scăderea și divizarea.
Acest tip de raționament acoperă o limbă foarte largă și este folosit în contexte multiple și diferite. În funcție de fiecare caz, în aceste contexte trebuie să recunoaștem modele, să interpretăm declarații și să generalizăm și să formalizăm expresia lor în termeni algebrici, oferind un raționament valid și secvențial.
Exerciții rezolvate
Următoarele sunt câteva probleme logice, pe care le vom rezolva folosind un raționament algebric:
Primul exercițiu
Care este numărul care, eliminând jumătate, este egal cu unul?
soluție
Pentru a rezolva acest tip de exerciții, este foarte util să reprezentăm valoarea dorită prin intermediul unei variabile. În acest caz vrem să găsim un număr care prin eliminarea jumătății duce la numărul unu. Indicați cu x numărul dorit.
"Pentru a elimina jumătate" la un număr implică împărțirea lui cu 2. Astfel, cele de mai sus pot fi exprimate algebric ca x / 2 = 1, iar problema este redusă la rezolvarea unei ecuații, care în acest caz este liniară și foarte simplă de rezolvat. Prin eliminarea lui x obținem că soluția este x = 2.
În concluzie, 2 este numărul care, atunci când elimină jumătate este egal cu 1.
Al doilea exercițiu
Câte minute lipsesc până la miezul nopții dacă 10 minute au lipsit 5/3 din ceea ce lipsește acum?
soluție
Denumiți cu "z" numărul de minute rămase până la miezul nopții (orice altă literă poate fi utilizată). Asta înseamnă că doar minutele "z" pentru miezul nopții lipsesc. Aceasta înseamnă că 10 minute au lipsit de la "z + 10" minute pentru miezul nopții, iar acest lucru corespunde la 5/3 din ceea ce lipsește acum; adică, (5/3) z.
Apoi, problema este redusă pentru a rezolva ecuația z + 10 = (5/3) z. Înmulțind ambele părți ale egalității cu 3, se obține ecuația 3z + 30 = 5z.
Acum, grupând variabila "z" pe o parte a egalității, obținem că 2z = 15, ceea ce înseamnă că z = 15.
Prin urmare, rămân 15 minute până la miezul nopții.
Al treilea exercițiu
Într-un trib care practică barter, există aceste echivalențe:
- Un scut și un colier sunt schimbate pentru un scut.
- O suliță este echivalentă cu un cuțit și un colier.
- Două scuturi sunt schimbate pentru trei unități de cuțite.
Câte coliere sunt echivalente cu sulițe?
soluție
Sean:
Co = un colier
L = o suliță
E = un scut
Cu = un cuțit
Apoi avem următoarele relații:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3Cu
Deci, problema este redusă la rezolvarea unui sistem de ecuații. În ciuda faptului că avem mai multe necunoscute decât ecuațiile, acest sistem poate fi rezolvat, deoarece nu ne cere o soluție specifică, ci una dintre variabile depinde de alta. Ceea ce trebuie să facem este să exprime exclusiv "Co" în funcția de "L".
Din cea de-a doua ecuație, avem Cu = L - Co Înlocuindu-ne în a treia, obținem că E = (3L - 3Co) / 2. În cele din urmă, înlocuind prima ecuație și simplificând-o, obținem că 5Co = L; adică, că o suliță este egală cu cinci coliere.
