Geometria euclidiană: istorie, concepte de bază și exemple
Geometria euclidiană corespunde studiului proprietăților spațiilor geometrice în care axiomele Euclidului sunt satisfăcute. În timp ce acest termen este folosit uneori pentru a cuprinde geometrii care au dimensiuni superioare cu proprietăți similare, este de obicei sinonim cu geometria clasică sau geometria plat.
În secolul al III-lea a. C. Euclides și discipolii săi au scris Elementele, o lucrare care cuprindea cunoștințele matematice ale timpului înzestrat cu o structură logică-deductivă. De atunci, geometria a devenit o știință, inițial pentru a rezolva problemele clasice și a evoluat într-o știință formativă care ajută rațiunea.
istorie
Pentru a începe cu istoria geometriei euclidane, este esențial să începem cu Euclid din Alexandria și Elemente .
Când Egiptul era în mâinile lui Ptolemeu I, după moartea lui Alexandru cel Mare, el și-a început proiectul într-o școală din Alexandria.
Printre înțelepții care au învățat la școală a fost Euclid. Se speculează că nașterea sa datează de la aproximativ 325 a. C. și moartea sa de 265 a. C. Putem ști cu certitudine că sa dus la școala lui Platon.
Timp de mai bine de treizeci de ani, Euclid a învățat în Alexandria, construindu-și faimoasele elemente: a început să scrie o descriere exhaustivă a matematicii timpului său. Învățăturile lui Euclid au produs discipoli excelenți, cum ar fi Arhimede și Apollonius din Perga.
Euclid a fost responsabil pentru structurarea descoperirilor disparate ale grecilor clasici în Elemente, dar spre deosebire de predecesorii săi, el nu se limitează la a afirma că o teoremă este adevărată; Euclid oferă o demonstrație.
Elementele sunt un compendiu de 13 cărți. După Biblie, este cea mai publicată carte, cu mai mult de o mie de ediții.
Elementele este capodopera lui Euclid în domeniul geometriei și oferă un tratament definitiv al geometriei a două dimensiuni (planul) și a trei dimensiuni (spațiul), aceasta fiind originea a ceea ce acum știm ca geometrie euclidiană .
Concepte de bază
Elementele sunt conforme cu definiții, noțiuni comune și postulate (sau axiome) urmate de teoreme, construcții și demonstrații.
- Un punct este cel care nu are părți.
- O linie este o lungime care nu are lățime.
- O linie dreaptă este cea care se află în mod egal în raport cu punctele care sunt în ea.
- Dacă două linii sunt tăiate astfel încât unghiurile adiacente sunt egale, unghiurile sunt numite drept și liniile sunt numite perpendiculare.
- Linii paralele sunt cele care, fiind în același plan, nu sunt niciodată tăiate.
După aceste și alte definiții, Euclid prezintă o listă de cinci postulate și cinci noțiuni.
Noțiuni comune
- Două lucruri care sunt egale cu o treime, sunt egale între ele.
- Dacă se adaugă lucruri egale aceleași lucruri, rezultatele sunt aceleași.
- Dacă lucrurile egale sunt scăzute lucruri egale, rezultatele sunt aceleași.
- Lucrurile care coincid între ele sunt egale una cu cealaltă.
- totalul este mai mare decât o parte.
Postulate sau axiome
- Pentru două puncte diferite, trece o singură linie.
- Linii drepte se pot extinde pe o perioadă nedeterminată.
- Puteți desena un cerc cu orice centru și orice rază.
- Toate unghiurile potrivite sunt aceleași.
- Dacă o linie dreaptă traversează două linii drepte, astfel încât unghiurile interne ale aceleiași laturi să adauge mai puțin de două unghiuri drepte, atunci cele două linii drepte se vor intersecta pe acea parte.
Acest ultim postulat este cunoscut ca postulatul paralelelor și a fost reformulat după cum urmează: "Pentru un punct în afara unei linii, putem desena o singură paralelă cu linia dată".
Exemple
Apoi, unele teoreme ale Elementelor vor servi pentru a arăta proprietățile spațiilor geometrice unde sunt îndeplinite cele cinci postulate ale Euclidului; În plus, ele vor ilustra raționamentul logic-deductiv folosit de acest matematician.
Primul exemplu
Propunerea 1.4. (LAL)
Dacă două triunghiuri au două laturi și unghiul dintre ele egal, atunci celelalte părți și celelalte unghiuri sunt egale.
spectacol
Fie ABC și A'B'C 'două triunghiuri cu AB = A'B', AC = A'C 'și unghiurile BAC și B'A'C' egale. Deplasați-vă la triunghiul A'B'C 'astfel încât A'B' să coincidă cu AB și acest unghi B'A'C să coincidă cu unghiul BAC.
Apoi, linia A'C 'coincide cu linia AC, astfel că C' coincide cu C. Apoi, prin postulatul 1, linia BC trebuie să coincidă cu linia B'C '. Prin urmare, cele două triunghiuri coincid și, în consecință, unghiurile și laturile lor sunt egale.
Al doilea exemplu
Propunerea 1.5. ( Pons Asinorum )
Dacă un triunghi are două laturi egale, atunci unghiurile opuse acelor laturi sunt egale.
spectacol
Să presupunem că triunghiul ABC are laturi egale AB și AC.
Apoi, triunghiurile ABD și ACD au două laturi egale, iar unghiurile dintre ele sunt egale. Astfel, prin propunerea 1.4, unghiurile ABD și ACD sunt egale.
Al treilea exemplu
Propunerea 1.31
Puteți construi o linie paralelă cu o linie dată de un anumit punct.
construcție
Având o linie L și un punct P, se trasează o linie dreaptă M care trece prin P și taie prin L. Apoi, o linie dreaptă N este trasă de P care taie la L. Acum, o linie N care taie la M este urmărită de P, formând un unghi egal cu cel pe care L îl formează cu M.
afirmare
N este paralel cu L.
spectacol
Să presupunem că L și N nu sunt paralele și se intersectează la un punct A. Fie B un punct în L dincolo de A. Considerăm linia O care trece prin B și P. Apoi, O taie unghiurile de formare M care adaugă mai puțin decât două drepte.
Apoi, cu 1, 5, linia O trebuie să se taie la linia L pe cealaltă parte a lui M, deci L și O se intersectează la două puncte, ceea ce contrazice postulatul 1. De aceea L și N trebuie să fie paralele.
