Teorema binomică: Demonstrație și exemple

Teorema binomică este o ecuație care ne spune cum să dezvoltăm o expresie a formei (a + b) n pentru un număr natural n. Un binomial nu este mai mult decât suma a două elemente, cum ar fi (a + b). De asemenea, ne permite să știm pentru un termen dat de akbn-k care este coeficientul care îl însoțește.

Această teoremă este atribuită în mod obișnuit inventatorului englez, fizicianului și matematicianului Sir Isaac Newton; Cu toate acestea, s-au găsit mai multe înregistrări care indică faptul că în Orientul Mijlociu existența sa era deja cunoscută, în jurul anului 1000.

Numere combinatoriale

Teorema binomică ne spune matematic următoarele:

În această expresie a și b sunt numere reale și n este un număr natural.

Înainte de a face demonstrația, să vedem câteva concepte de bază necesare.

Numărul combinatorial sau combinațiile lui n în k se exprimă după cum urmează:

Această formă exprimă valoarea numărului de subseturi cu elemente k care pot fi alese dintr-un set de elemente n. Expresia sa algebrică este dată de:

Să vedem un exemplu: să presupunem că avem un grup de șapte bile, dintre care două sunt roșii, iar restul sunt albastre.

Vrem să știm câte modalități le putem ordona într-un rând. O modalitate ar fi aceea de a plasa cele două roșii în prima și a doua poziție, iar restul bilelor în pozițiile rămase.

Similar cu cazul precedent, am putea da bile roșii prima și ultima poziție, și să o ocupăm pe ceilalți cu bile albastre.

Acum, o modalitate eficientă de a număra câte modalități putem ordona bilele într-un rând este utilizarea numerelor combinatoriale. Putem vedea fiecare poziție ca element al setului următor:

Apoi este necesar doar să alegeți un subset de două elemente, în care fiecare dintre aceste elemente reprezintă poziția pe care o vor ocupa bilele roșii. Putem face această alegere în funcție de relația dată de:

În acest fel, avem că există 21 de moduri de a sorta astfel de bile.

Ideea generală a acestui exemplu va fi foarte utilă în demonstrarea teoremei binomiale. Să analizăm un caz particular: dacă n = 4, avem (a + b) 4, care nu depășește:

Atunci când dezvoltăm acest produs, avem suma termenilor obținuți prin înmulțirea unui element al fiecăruia dintre cei patru factori (a + b). Astfel, vom avea termeni care vor avea forma:

Dacă vrem să obținem termenul formularului a4, este suficient să ne multiplicăm în felul următor:

Rețineți că există numai o modalitate de a obține acest element; Dar, ce se întâmplă dacă căutăm acum termenul de formular a2b2? Din moment ce "a" și "b" sunt numere reale și, prin urmare, legea comutativă este validă, trebuie să obținem o modalitate de a obține acest termen fiind să se înmulțească cu membrii indicat de săgeți.

Efectuarea tuturor acestor operații este, de obicei, oarecum obositoare, dar dacă vom vedea termenul "a" ca o combinație în care vrem să știm câte moduri putem alege două "a" dintr-un set de patru factori, putem folosi ideea exemplului anterior. Deci, avem urmatoarele:

Astfel, știm că în dezvoltarea finală a expresiei (a + b) 4 vom avea exact 6a2b2. Folosind aceeași idee pentru celelalte elemente, trebuie să:

Apoi adăugăm expresiile obținute anterior și trebuie să:

Este o demonstrație formală pentru cazul general în care "n" este orice număr natural.

spectacol

Rețineți că termenii care rămân în cursul dezvoltării (a + b) n sunt de forma akbn-k, unde k = 0, 1, ..., n. Folosind ideea exemplului anterior, avem calea de a alege variabilele «k» «a» dintre factorii «n»:

Prin alegerea în acest mod, alegem în mod automat variabilele nk «b». Din aceasta rezultă că:

Exemple

Considerând (a + b) 5, care ar fi dezvoltarea sa?

Prin teorema binomică trebuie:

Teorema binomică este foarte utilă dacă avem o expresie în care vrem să știm care este coeficientul unui anumit termen fără a trebui să realizăm dezvoltarea completă. Ca exemplu, putem lua urmatorul incognito: Care este coeficientul x7y9 in dezvoltarea lui (x + y) 16?

Prin teorema binomică, avem că coeficientul este:

Un alt exemplu ar fi: Care este coeficientul x5y8 în dezvoltarea (3x-7y) 13?

Mai întâi rescriem expresia într-un mod convenabil; acesta este:

Apoi, folosind teorema binomică, avem că coeficientul dorit este atunci când avem k = 5

Un alt exemplu de utilizare a acestei teoreme este demonstrarea unor identități comune, cum ar fi cele menționate mai jos.

Identitate 1

Dacă "n" este un număr natural, trebuie:

Pentru demonstrație folosim teorema binomică, unde atât "a", cât și "b" iau valoarea 1. Apoi avem:

În acest fel am dovedit prima identitate.

Identitate 2

Dacă "n" este un număr natural, atunci

Prin teorema binomică trebuie:

O altă demonstrație

Putem face o dovadă diferită pentru teorema binomică folosind metoda inductivă și identitatea pascală, care ne spune că dacă "n" și "k" sunt numere întregi pozitive care corespund cu n ≥ k, atunci:

Demonstrație prin inducție

Mai întâi, să vedem că baza inductivă este îndeplinită. Dacă n = 1, trebuie să:

Efectiv, vedem că este împlinită. Acum, lăsați n = j astfel încât să se îndeplinească:

Vrem să vedem că pentru n = j + 1 se îndeplinește faptul că:

Deci, trebuie:

Prin ipoteză știm că:

Apoi, folosind proprietatea distributivă:

Ulterior, elaborarea fiecăreia dintre sumările pe care le avem:

Acum, dacă ne grupează împreună într-un mod convenabil, trebuie:

Folosind identitatea pascalului, trebuie:

În cele din urmă, rețineți că:

Prin urmare, vedem că teorema binomică este îndeplinită pentru fiecare "n" care aparține numărului natural, iar cu aceasta se termină testul.

curiozitati

Numărul combinatorial (nk) este numit și coeficientul binomial, deoarece este tocmai coeficientul care apare în dezvoltarea binomului (a + b) n.

Isaac Newton a dat o generalizare acestei teoreme pentru cazul în care exponentul este un număr real; Această teoremă este cunoscută sub numele de teoremă binomică a lui Newton.

Deja în antichitate acest rezultat a fost cunoscut pentru cazul particular în care n = 2. Acest caz este menționat în Elementele Euclidului.