Divizia sintetică: metoda și exercițiile rezolvate

Divizarea sintetică este o modalitate simplă de împărțire a unui polinom P (x) prin oricare dintre formulele d (x) = x - c. Este un instrument foarte util deoarece, pe lângă faptul că ne permite să divizăm polinomiali, ne permite de asemenea să evaluăm un polinom P (x) în orice număr c, care la rândul său ne spune exact dacă acest număr este zero sau nu al polinomului.

Datorită algoritmului de divizare, știm că dacă avem două polinomi neconstante P (x) și d (x), există polinomi unici q (x) și r (x) astfel încât P (x) = q ) d (x) + r (x), unde r (x) este zero sau este mai mică decât q (x). Aceste polinoame sunt cunoscute ca coeficient și reziduu sau restul respectiv.

În cazul în care polinomul d (x) are forma x-c, diviziunea sintetică ne oferă o cale scurtă de a găsi care sunt q (x) și r (x).

Metoda divizării sintetice

Fie P (x) = a _n xn + a _n-1 xn-1 + ... + a ₁ x + a ₀ polinomul pe care dorim să îl împărțim yd (x) = xc divizorul. Pentru a diviza prin metoda divizării sintetice, procedăm după cum urmează:

1 - Scriem coeficienții lui P (x) în primul rând. Dacă nu apare nici o putere a lui X, vom pune coeficientul zero.

2 - În al doilea rând, în partea stângă a unui _n, plasăm c și tragem liniile de divizare așa cum se arată în figura următoare:

3. Reducem coeficientul de conducere la al treilea rând.

În această expresie b _n-1 = a _n

4 - Înmulțim c cu coeficientul de conducere b _n-1 și rezultatul este scris în al doilea rând, dar o coloană în dreapta.

5. Adăugăm coloana în care am scris rezultatul anterior și rezultatul pe care l-am pus sub acea sumă; adică, în aceeași coloană, al treilea rând.

Când adăugăm, avem ca rezultat _n-1 + c * b _n-1, care pentru comoditate vom numi b _n-2

6- Înmulțim c cu rezultatul anterior și scrieți rezultatul la dreapta în al doilea rând.

Se repetă etapele 5 și 6 până când ajungem la coeficientul ₀ .

8- Scrieți răspunsul; adică, coeficientul și reziduul. Deoarece facem împărțirea unui polinom de gradul n între un polinom de gradul 1, avem un coeficient serios de gradul n-1.

Coeficienții polinomului coeficientului vor fi numerele celui de-al treilea rând, cu excepția ultimului, care va fi polinomul rezidual sau restul diviziunii.

Exerciții rezolvate

Exemplul 1

Realizați următoarea diviziune prin metoda divizării sintetice:

(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).

soluție

În primul rând se scriu coeficienții dividendului după cum urmează:

Apoi scrie c pe partea stângă, în al doilea rând, împreună cu liniile de divizare. În acest exemplu, c = -1.

Reducem coeficientul de conducere (în acest caz b _n-1 = 1) și îl înmulțim cu -1:

Vă scriem rezultatul la dreapta în al doilea rând, după cum se arată mai jos:

Adăugăm numerele în coloana a doua:

Înmulțim 2 cu -1 și scrie rezultatul în a treia coloană, al doilea rând:

Adăugăm în coloana a treia:

Procedăm în mod analog până ajungem în ultima coloană:

Astfel, avem ca ultimul numar obtinut este restul divizarii, iar numerele ramase sunt coeficientii polinomului coeficientului. Aceasta este scrisă după cum urmează:

Dacă vrem să verificăm dacă rezultatul este corect, este suficient să se verifice dacă următoarea ecuație este îndeplinită:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Astfel putem verifica dacă rezultatul obținut este corect.

Exemplul 2

Realizați următoarea diviziune a polinomilor prin metoda divizării sintetice

(7x3-x + 2): (x + 2)

soluție

În acest caz, avem în vedere că termenul x2 nu apare, deci vom scrie 0 ca coeficient. Astfel, polinomul va rămâne ca 7x3 + 0x2-x + 2.

Noi scriem coeficienții lor într-un rând, acesta este:

Se scrie valoarea C = -2 în partea stângă în al doilea rând și se desenează liniile de divizare.

Reducem coeficientul de conducere b _n-1 = 7 și îl înmulțim cu -2, scriind rezultatul în al doilea rând spre dreapta.

Adăugăm și continuăm așa cum am explicat mai devreme, până când ajungem la ultimul termen:

În acest caz, restul este r (x) = - 52 și coeficientul obținut este q (x) = 7x2-14x + 27.

Exemplul 3

O altă modalitate de a folosi diviziunea sintetică este următoarea: presupunem că avem un polinom P (x) de grad n și vrem să știm ce valoare este atunci când o evaluează în x = c.

Prin algoritmul diviziunii avem că putem scrie polinomul P (x) în felul următor:

În expresia menționată q (x) și r (x) sunt coeficientul și, respectiv, restul. Dacă d (x) = x-c, atunci când evaluăm în c în polinom, găsim următoarele:

De aceea, trebuie doar să găsim ar (x), iar asta putem face datorită diviziunii sintetice.

De exemplu, avem polinomul P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 și vrem să știm care este valoarea sa atunci când o evaluează în x = 5. Pentru aceasta vom efectua împărțirea între P (x) yd (x) = x -5 prin metoda divizării sintetice:

Odată ce operațiile sunt terminate, știm că putem scrie P (x) în felul următor:

P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Prin urmare, atunci când o evaluăm, trebuie:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) *

P (5) = 0 + 4253 = 4253

După cum se poate vedea, este posibil să se folosească diviziunea sintetică pentru a găsi valoarea unui polinom la evaluarea lui în c în loc de a înlocui pur și simplu c cu x.

Dacă am încercat să evaluăm P (5) în mod tradițional, ar trebui să facem niște calcule care tind să devină plictisitoare.

Exemplul 4

Algoritmul împărțirii polinomilor este de asemenea îndeplinit pentru polinomi cu coeficienți complexi și, în consecință, avem în vedere că metoda de divizare sintetică funcționează de asemenea pentru polinoamele menționate. Apoi vom vedea un exemplu.

Vom folosi metoda divizării sintetice pentru a arăta că z = 1+ 2i este un zero al polinomului P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); adică restul diviziunii P (x) între d (x) = x - z este egal cu zero.

Procedăm ca mai înainte: în primul rând se scrie coeficienții lui P (x), apoi în al doilea se scrie z și se desenează liniile de divizare.