Homothety: Proprietăți, tipuri și exemple
Homothety este o schimbare geometrică în planul în care, dintr-un punct fix numit center (O), distanțele sunt multiplicate cu un factor comun. În acest fel, fiecare punct P corespunde unui alt punct P 'produs al transformării și acestea sunt aliniate cu punctul O.
Apoi homotetul este o corespondență între două figuri geometrice, unde punctele transformate sunt numite homotetice și acestea sunt aliniate cu un punct fix și cu segmente paralele unul cu celălalt.
homotecia
Homotetul este o transformare care nu are o imagine congruentă, deoarece dintr-o figură vor fi obținute una sau mai multe figuri cu o dimensiune mai mare sau mai mică decât cea originală; adică homotetul transformă un poligon într-un altul similar.
Pentru ca homotetul să fie îndeplinit, ele trebuie să corespundă punctului la punct și dreptei, astfel încât perechile de puncte omoloage să fie aliniate cu un al treilea punct fix, care este centrul homotetei.
De asemenea, perechile de linii care li se alătură trebuie să fie paralele. Relația dintre astfel de segmente este o constantă numită raportul homothety (k); în așa fel încât homotetul să poată fi definit ca:
Pentru a face acest tip de transformare începem prin alegerea unui punct arbitrar, care va fi centrul homotetei.
Din acest punct se trasează segmente de linie pentru fiecare vârf al figurii care urmează să fie transformată. Scara pe care se face reproducerea figurii noi este dată de raportul homotetei (k).
proprietăţi
Una dintre principalele proprietăți ale homothetyi este că, din motive de homothety (k), toate figurile homotetice sunt similare. Printre alte proprietăți remarcabile sunt următoarele:
- centrul homotetei (O) este singurul punct dublu și acest lucru devine el însuși; adică nu variază.
- Liniile care trec prin centru se transformă singure (sunt duble), dar punctele care o compun nu sunt duble.
- Linii care nu trec prin centru sunt transformate în linii paralele; în acest fel, unghiurile homotetei rămân aceleași.
- Imaginea unui segment printr-o homothety de centru O și raportul k, este un segment paralel cu acesta și are k ori lungimea lui. De exemplu, așa cum se vede în următoarea imagine, un segment AB prin homotetic va avea ca rezultat un alt segment A'B ', astfel că AB va fi paralel cu A'B' și k va fi:
- Unghiurile homotetice sunt congruente; adică au aceeași măsură. Prin urmare, imaginea unui unghi este un unghi care are aceeași amplitudine.
Pe de altă parte, homotetul variază în funcție de valoarea raportului (k) și pot apărea următoarele cazuri:
- Dacă constanta k = 1, toate punctele sunt fixate deoarece se transformă singure. Astfel, figura homotetică coincide cu originalul și transformarea va fi numită funcție de identitate.
- Dacă k ≠ 1, singurul punct fix va fi centrul homotetei (O).
- Dacă k = -1, homotetul devine o simetrie centrală (C); adică o rotație în jurul valorii de C va avea loc la un unghi de 180 °.
- Dacă k> 1, mărimea figurii transformate va fi mai mare decât dimensiunea originalului.
- Dacă 0 <k <1, mărimea figurii transformate va fi mai mică decât cea a originalului.
- Dacă -1 <k <0, mărimea figurii transformate va fi mai mică și va fi rotită în raport cu originalul.
- Dacă k <-1, mărimea figurii transformate va fi mai mare și rotită în raport cu originalul.
tip
Homotetul poate fi, de asemenea, clasificat în două tipuri, în funcție de valoarea raportului (k):
Homothety directă
Se întâmplă dacă constant k> 0; adică punctele homotetice se află pe aceeași parte în raport cu centrul:
Factorul de proporționalitate sau raportul de similaritate între cifrele directe homotetice va fi întotdeauna pozitiv.
Reverse homothetic
Se întâmplă dacă constanta k <0; adică punctele inițiale și cele homotetice sunt situate în capetele opuse în raport cu centrul homotetei, dar aliniate la ea. Centrul se va afla între cele două figuri:
Factorul de proporționalitate sau raportul de similaritate între cifrele inverse homotetice va fi întotdeauna negativ.
compoziție
Atunci când mai multe mișcări sunt făcute succesiv până la obținerea unei cifre egale cu originalul, apare o compoziție de mișcări. Compoziția mai multor mișcări este, de asemenea, o mișcare.
Compoziția dintre două homoteciuri are ca rezultat o nouă homothecie; adică, avem un produs homotetic în care centrul va fi aliniat la centrul celor două transformări inițiale, iar raportul (k) este produsul celor două motive.
Astfel, în compoziția a două homotecții H 1 (O 1, k 1 ) și H 2 (O 2, k 2 ), multiplicarea raporturilor lor: k 1 x k 2 = 1 va avea ca rezultat o homotetă a raportului k 3 = k 1 x k 2 Centrul acestei noi homotete (O 3 ) va fi situat pe linia O 1 O 2 .
Homotetul corespunde unei schimbări plane și ireversibile; dacă se aplică două homotheces care au același centru și raport, dar cu un semn diferit, cifra originală va fi obținută.
Exemple
Primul exemplu
Aplicați o homothety la poligonul centru (O) dat, situat la 5 cm de punctul A și al cărui raport este k = 0, 7.
soluție
Orice punct este ales ca centru al homotetei și din această rază sunt desenate de vârfurile figurii:
Distanța dintre centrul (O) și punctul A este OA = 5; cu aceasta puteți determina distanța unuia dintre punctele homotetice (OA ') știind, de asemenea, că k = 0, 7:
OA '= kx OA.
OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.
Procesul se poate face pentru fiecare vârf, sau puteți desena și poligonul homotetic care amintește că cele două poligoane au laturi paralele:
În cele din urmă, transformarea arată astfel:
Al doilea exemplu
Aplicați o homothety la poligonul centru (O) dat, situat la 8, 5 cm de punctul C și al cărui raport y este k = -2.
soluție
Distanța dintre centrul (O) și punctul C este OC = 8, 5; cu aceste date este posibil să se determine distanța unuia dintre punctele homotetice (OC '), știind de asemenea că k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 x 8, 5 = -17
După desenarea segmentelor vârfurilor poligonului transformat, avem în vedere că punctele inițiale și homothetics lor sunt situate în capetele opuse față de centru:
