Transformări izometrice: compoziție, tipuri și exemple

Transformările izometrice sunt modificări ale poziției sau orientării unei anumite figuri care nu modifică forma sau mărimea acesteia. Aceste transformări sunt clasificate în trei tipuri: traducere, rotire și reflecție (izometrie). În general, transformările geometrice permit să se creeze o figură nouă de la un alt dat.

O transformare într-o figură geometrică înseamnă că, într-un fel, a fost supusă unei anumite schimbări; adică, că a fost modificată. Conform sensului originalului și similarului în plan, transformările geometrice pot fi clasificate în trei tipuri: izometrice, izomorfe și anamorfe.

caracteristici

Transformările izometrice apar atunci când se păstrează magnitudinea segmentelor și unghiurile dintre figura inițială și cea transformată.

În acest tip de transformare, nici forma, nici mărimea figurii nu sunt modificate (ele sunt congruente), este doar o schimbare a poziției figurii, fie în orientare, fie în direcție. Astfel, cifrele inițiale și finale vor fi similare și geometric congruente.

Izometria se referă la egalitate; adică cifrele geometrice vor fi izometrice dacă au aceeași formă și dimensiune.

În transformările izometrice, singurul lucru care poate fi observat este schimbarea poziției în plan, apare o mișcare rigidă, datorită căreia cifra merge de la o poziție inițială la o poziție finală. Această cifră se numește omoloagă (similară) cu originalul.

Există trei tipuri de mișcări care clasifică o transformare izometrică: traducerea, rotirea și reflexia sau simetria.

tip

Prin traducere

Ele sunt acele izometrii care permit să se miște în linie dreaptă toate punctele planului într-o anumită direcție și distanță.

Atunci când o figură este transformată prin traducere, ea nu își schimbă orientarea în raport cu poziția inițială, nici nu își pierde măsurile interne, măsurarea unghiurilor și laturilor sale. Acest tip de deplasare este definit de trei parametri:

- O direcție, care poate fi orizontală, verticală sau oblică.

- Un sens, care poate fi la stânga, la dreapta, în sus sau în jos.

- Distanța sau magnitudinea, care este lungimea de la poziția inițială până la sfârșitul oricărui punct care se mișcă.

Pentru ca transformarea izometrică prin traducere să fie îndeplinită, ea trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

- Figura trebuie să păstreze întotdeauna toate dimensiunile sale, atât liniare cât și unghiulare.

- cifra nu-și schimbă poziția în raport cu axa orizontală; adică, unghiul său nu variază niciodată.

- Traducerile vor fi întotdeauna sintetizate într-o singură dată, indiferent de numărul de traduceri efectuate.

Într-un plan în care centrul este un punct O, cu coordonate (0, 0), traducerea este definită de un vector T (a, b), care indică deplasarea punctului inițial. Asta este:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

De exemplu, dacă o traducere T (-4, 7) este aplicată punctului de coordonate P (8, -2), obținem:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)

În următoarea imagine (stânga) se poate observa cum sa mutat punctul C pentru a coincide cu punctul D. A făcut acest lucru în direcția verticală, direcția a fost în sus și distanța sau mărimea CD a fost de 8 metri. În imaginea corectă se observă traducerea unui triunghi:

Prin rotație

Ele sunt izometrele care permit cifrei să rotească toate punctele unui plan. Fiecare punct se rotește după un arc care are un unghi constant și un punct fix (centrul de rotație) determinat.

Aceasta înseamnă că rotația va fi definită de centrul de rotație și de unghiul de rotație. Atunci când o figură este transformată prin rotație, ea menține măsura unghiurilor și laturilor sale.

Rotirea are loc într-o anumită direcție, este pozitivă atunci când rotația este în sens contrar acelor de ceasornic (contrar modului în care mâinile ceasului se rotesc) și negative atunci când rotația este în sensul acelor de ceasornic.

Dacă un punct (x, y) este rotit în raport cu originea - adică, centrul său de rotație este (0, 0) -, la un unghi de 90o până la 360o coordonatele punctelor vor fi:

În cazul în care rotația nu are un centru la origine, originea sistemului de coordonate trebuie transferată la noua origine dată, pentru a putea roti cifra care are originea ca centru.

De exemplu, dacă punctul P (-5.2) are o rotație de 90o, în jurul originii și într-o direcție pozitivă, noile coordonate vor fi (-2.5).

Prin reflecție sau simetrie

Sunt acele transformări care inversează punctele și figurile avionului. Această investiție poate fi cu privire la un punct sau poate fi, de asemenea, cu privire la o linie.

Cu alte cuvinte, în acest tip de transformare, fiecare punct al figurii inițiale este asociat cu un alt punct (imagine) al figurii omoloage, astfel încât punctul și imaginea sa se află la aceeași distanță de o linie numită axa simetriei. .

Astfel, partea stângă a figurii va fi o reflectare a părții din dreapta, fără a schimba forma sau dimensiunile ei. Simetria transformă o figură în alta, deși în direcția opusă, așa cum se poate vedea în imaginea următoare:

Simetria este prezentă în multe aspecte, ca și în unele plante (floarea-soarelui), animale (păuni) și fenomene naturale (fulgi de zăpadă). Ființa umană o reflectă pe fața lui, care este considerată un factor de frumusețe. Reflecția sau simetria pot fi de două tipuri:

Simetria centrală

Este acea transformare care are loc cu privire la un punct, în care figura își poate schimba orientarea. Fiecare punct al figurii originale și imaginea ei se află la aceeași distanță de un punct O, numit centrul simetriei. Simetria este centrală atunci când:

- Atât punctul, cât și imaginea și centrul acestuia aparțin aceleiași linii.

- Cu o rotație de 180 ° a centrului O se obține o cifră egală cu cea originală.

- loviturile figurului inițial sunt paralele cu cursele figurii formate.

- Sensul figurii nu se schimbă, va fi întotdeauna în sens orar.

Această transformare are loc în raport cu axa simetriei, unde fiecare punct al figurii inițiale este asociat cu un alt punct al imaginii și acestea sunt la aceeași distanță față de axa simetriei. Simetria este axială atunci când:

- segmentul care unește un punct cu imaginea sa este perpendicular pe axa sa de simetrie.

- Cifrele schimbă direcția în raport cu rândul sau cu sensul invers acelor de ceasornic.

- Atunci când împărțiți figura cu o linie centrală (axa simetriei), una dintre jumătățile rezultate coincide complet cu o altă jumătate.

compoziție

O compoziție a transformărilor izometrice se referă la aplicarea succesivă a transformărilor izometrice pe aceeași figură.

Componența unei traduceri

Compoziția a două traduceri are ca rezultat o altă traducere. Când se face pe plan, pe axa orizontală (x) se schimbă numai coordonatele acelei axe, în timp ce coordonatele axei verticale (y) rămân aceleași și invers.

Compoziția unei rotații

Compoziția a două rotații cu același centru are ca rezultat o altă rotire, care are același centru și a cărei amplitudine va fi suma amplitudinilor celor două rotații.

În cazul în care centrele de rotație au un centru diferit, tăierea bisectorului a două segmente de puncte similare va fi centrul de rotație.

Compoziția unei simetrii

În acest caz, compoziția va depinde de modul în care este aplicată:

- Dacă aceeași simetrie este aplicată de două ori, rezultatul va fi o identitate.

- Dacă se aplică două simetrii în raport cu două axe paralele, rezultatul va fi o traducere, iar deplasarea este de două ori distanța dintre acele axe:

- Dacă două simetrii sunt aplicate în raport cu două axe tăiate la punctul O (centru), se va obține o rotație cu centrul la O și unghiul său va fi de două ori unghiul format de axe: