Factoring: Metode și exemple

Factorizarea este o metodă prin care un polinom este exprimat sub forma multiplicării factorilor, care pot fi numere, litere sau ambele. Pentru a factoriza factorii care sunt obișnuiți cu termenii sunt grupați și în acest fel polinomul este descompus în mai multe polinoame.

Astfel, atunci când factorii se multiplică reciproc, rezultatul este polinomul inițial. Factoringul este o metodă foarte utilă atunci când aveți expresii algebrice, deoarece poate fi transformată în multiplicarea câtorva termeni simpli; de exemplu: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Există cazuri în care un polinom nu poate fi luat în considerare deoarece nu există un factor comun între termenii săi; astfel, aceste expresii algebrice sunt divizibile numai între ele și prin 1. De exemplu: x + y + z.

Într-o expresie algebrică, factorul comun este cel mai mare divizor comun al termenilor care o compun.

Metode de factoring

Există mai multe metode de factoring, care se aplică în funcție de caz. Unele dintre acestea sunt următoarele:

Factorizarea prin factor comun

În această metodă, acei factori care sunt obișnuiți sunt identificați; adică acelea repetate în termenii expresiei. Apoi se aplică proprietatea distributivă, divizorul comun maxim este îndepărtat și factorizarea este finalizată.

Cu alte cuvinte, factorul comun de exprimare este identificat și fiecare termen este împărțit între el; termenii care rezultă vor fi multiplicați cu cel mai mare factor comun pentru exprimarea factorizării.

Exemplul 1

Factor (b2x) + (b2y).

soluție

Mai întâi găsim factorul comun al fiecărui termen, care în acest caz este b2, și apoi împărțim termenii între factorul comun după cum urmează:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Factorizarea este exprimată, înmulțind factorul comun cu termenii care rezultă:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Exemplul 2

Factorul (2a2b3) + (3ab2).

soluție

În acest caz, avem doi factori care se repetă în fiecare termen, care sunt "a" și "b" și care sunt ridicați la o putere. Pentru a le factoriza, mai întâi cei doi termeni sunt defalcați în forma lor lungă:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Se poate observa că factorul "a" se repetă o singură dată în al doilea termen, iar factorul "b" se repetă de două ori în el; astfel încât în primul termen există doar 2, un factor "a" și un "b"; în timp ce în al doilea termen rămân doar 3.

Prin urmare, scriem momentele în care "a" și "b" se repetă și se înmulțesc cu factorii rămași din fiecare termen, după cum se vede în imagine:

Factorizarea prin grupare

Cum nu este în toate cazurile divizorul comun maxim al unui polinom exprimat clar, este necesar să se ia alte măsuri pentru a putea rescrie polinomul și astfel factorul.

Unul din acești pași este de a grupa termenii polinomului în mai multe grupuri și apoi de a utiliza metoda factorului comun.

Exemplul 1

Factorul ac + bc + ad + bd.

soluție

Există 4 factori în care două sunt frecvente: în primul termen este «c» și în al doilea este «d». În acest fel, cei doi termeni sunt grupați și separați:

(ac + bc) + (ad + bd).

Acum este posibil să se aplice metoda comună a factorilor, împărțind fiecare termen cu factorul său comun și apoi înmulțind acel factor comun cu termenii care rezultă, cum ar fi:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Acum obții un binomial care este comun pentru ambii termeni. Pentru factor este înmulțită cu factorii rămași; în acest fel trebuie să:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Factorizarea prin inspecție

Această metodă este folosită pentru polinomii quadratici factori, numiți și trinomiali; adică acelea care sunt structurate ca ax2 ± bx + c, unde valoarea lui "a" este diferită de 1. Această metodă este utilizată și atunci când trinomul are forma x2 ± bx + c, iar valoarea "a" = 1 .

Exemplul 1

Factor x2 + 5x + 6.

soluție

Avem un trinomial quadratic al formei x2 ± bx + c. Pentru a factoriza mai întâi trebuie să găsiți două numere care, înmulțite, dau ca rezultat "c" (adică 6) și suma sa este egală cu coeficientul "b", care este 5. Acele cifre sunt 2 și 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

În acest fel, expresia este simplificată astfel:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Fiecare termen este luat în considerare:

- Pentru (x2 + 2x) se extrage termenul comun: x (x + 2)

- Pentru (3x + 6) = 3 (x + 2)

Astfel, expresia rămâne:

x (x + 2) + 3 (x + 2).

Pe măsură ce aveți un binomial comun, pentru a reduce expresia multiplicați acest lucru cu termenii excedentari și trebuie să:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exemplul 2

Factorul 4a2 + 12a + 9 = 0.

soluție

Avem o trinomială triunghiulară a formei ax2 ± bx + c și pentru ao factoriza multiplicăm toată expresia cu coeficientul x2; în acest caz, 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Acum, trebuie să găsim două numere care, atunci când se înmulțesc reciproc, dau ca rezultat valoarea "c" (care este 36) și că atunci când se adună împreună rezultă coeficientul termenului "a", adică 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

În acest fel expresia este rescrisă, ținând seama de faptul că 42 a2 = 4a _* 4a. Prin urmare, proprietatea distributivă este aplicată pentru fiecare termen:

(4a + 6) _* (4a + 6).

În cele din urmă, expresia este împărțită de coeficientul a2; care este, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Expresia este după cum urmează:

4a2 + 12a +9 = (2a + 3) _* (2a + 3).

Factoring cu produse remarcabile

Există cazuri în care, pentru a factoriza pe deplin polinoamele cu metodele anterioare, devine un proces foarte lung.

De aceea, o expresie poate fi dezvoltată cu formulele produselor remarcabile și astfel procesul devine mai simplu. Printre cele mai utilizate produse notabile sunt:

- Diferența a două pătrate: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Pătrat perfect al unei sume: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Pătrat perfect al unei diferențe: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- Diferența a două cuburi: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- Suma a două cuburi: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

Exemplul 1

Factorizați (52 - x2)

soluție

În acest caz, există o diferență de două pătrate; prin urmare, se aplică formula produsului remarcabil:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemplul 2

Factorul 16x2 + 40x + 252

soluție

În acest caz, avem o pătrată perfectă a unei sume, deoarece putem identifica doi termeni pătrat, iar termenul rămas este rezultatul multiplicării a două prin rădăcina pătrată a primului termen, cu rădăcina pătrată a celui de-al doilea termen.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Pentru factor, se calculează numai rădăcinile pătrate ale primului și celui de-al treilea termen:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

Apoi cei doi termeni care rezultă sunt separați de semnul operației, iar întregul polinom este pătrat:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

Exemplul 3

Factorul 27a3 - b3

soluție

Expresia reprezintă o scădere în care doi factori sunt ridicați în cub. Pentru a le factoriza, se aplică formula produsului notabil al diferenței de cub, care este:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

Astfel, pentru a factoriza, rădăcina cubică a fiecărui termen al binomului este extrasă și înmulțită cu pătratul primului termen, plus produsul primului cu cel de-al doilea termen plus cel de-al doilea termen de către pătrat.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3a

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3-b3 = (3a-b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Factoring cu regula lui Ruffini

Această metodă este utilizată atunci când aveți un polinom de grad mai mare de două, pentru a simplifica expresia la mai multe polinoame de grad mai mic.

Exemplul 1

Factorul Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

soluție

Mai întâi căutați numerele care sunt divizoare de 12, care este termenul independent; acestea sunt ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 și ± 12.

Apoi, x este înlocuit de aceste valori, de la cel mai mic la cel mai înalt, și astfel se determină cu care dintre valori diviziunea va fi exactă; adică, restul trebuie să fie 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

Și așa mai departe pentru fiecare divizor. În acest caz, factorii găsiți sunt pentru x = -1 și x = 2.

Acum se aplică metoda Ruffini, conform căreia coeficienții expresiei vor fi împărțiți între factorii găsiți pentru diviziune să fie exact. Termenii polinomali sunt ordonați de la exponentul cel mai mare la cel mai mic; în cazul în care lipsește un termen cu gradul care urmează în secvență, un 0 este plasat în locul său.

Coeficienții sunt localizați într-o schemă așa cum se vede în imaginea următoare.

Primul coeficient este redus și înmulțit cu divizorul. În acest caz, primul divizor este -1, iar rezultatul este plasat în următoarea coloană. Apoi, valoarea coeficientului este adăugată pe verticală cu rezultatul obținut și rezultatul este plasat mai jos. În acest fel, procesul se repetă până în ultima coloană.

Apoi, aceeași procedură se repetă din nou, dar cu al doilea divizor (care este 2), deoarece expresia poate fi în continuare simplificată.

Astfel, pentru fiecare rădăcină obținută, polinomul va avea un termen (x - a), unde "a" este valoarea rădăcinii:

(x - 1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Pe de altă parte, acești termeni trebuie să fie multiplicați cu restul regulii lui Ruffini 1: 1 și -6, care sunt factorii care reprezintă un grad. În acest fel expresia formată este: (x2 + x - 6).