Teorema lui Euclid: Formule, Demonstrație, Aplicație și Exerciții

Teorema lui Euclid demonstrează proprietățile unui triunghi drept prin trasarea unei linii care o împarte în două noi triunghiuri drepte care sunt similare unul cu altul și, la rândul lor, sunt similare cu triunghiul original; atunci există o relație de proporționalitate.

Euclid a fost unul dintre cei mai mari matematicieni și geometri din epoca veche, care a făcut mai multe demonstrații de teoreme importante. Una dintre cele mai importante este cea care poartă numele său, care a avut o aplicație largă.

Acest lucru sa datorat faptului că, prin această teoremă, explică într-un mod simplu relațiile geometrice existente în triunghiul drept, unde picioarele sunt legate de proiecțiile lor în hypotenuse.

Formule și demonstrații

Teorema lui Euclid propune ca în fiecare triunghi drept, atunci când este trasată o linie - care reprezintă înălțimea corespunzătoare vârfului unghiului drept cu referire la hypotenuse - două triunghiuri drepte se formează din original.

Aceste triunghiuri vor fi similare unul cu celălalt și vor fi similare cu triunghiul original, ceea ce înseamnă că părțile lor similare sunt proporționale unul cu celălalt:

Unghiurile celor trei triunghiuri sunt congruente; adică, atunci când este rotit la 180 de grade pe vârful său, un unghi coincide pe celălalt. Aceasta înseamnă că toată lumea va fi egală.

În acest fel, puteți verifica asemănarea care există între cele trei triunghiuri, prin egalitatea unghiurilor lor. Din similitudinea triunghiurilor, Euclid stabilește proporțiile acestor două teorii:

- Teorema înălțimii.

- Teorema picioarelor.

Această teoremă are o aplicație largă. În antichitate a fost folosit pentru a calcula înălțimile sau distanțele, reprezentând un mare avantaj pentru trigonometrie.

Se aplică în prezent în mai multe domenii bazate pe matematică, cum ar fi inginerie, fizică, chimie și astronomie, printre multe alte domenii.

Teorema înălțime

Această teoremă afirmă că în orice triunghi drept, înălțimea trasată din unghiul drept față de hypotenuse este media proporțională geometrică (pătratul înălțimii) între proiecțiile picioarelor care determină hypotenuse.

Adică, pătratul înălțimii va fi egal cu multiplicarea picioarelor proiectate care formează hypotenuse:

h _c 2 = m _* n

spectacol

Având în vedere un triunghi ABC, care este un dreptunghi la punctul C, atunci când se compară înălțimea, se generează două triunghiuri drepte similare, ADC și BCD; prin urmare, laturile lor corespunzătoare sunt proporționale:

Deci, înălțimea h _c care corespunde cu segmentul CD corespunde cu hypotenuse AB = c, deci trebuie să:

La rândul său, aceasta corespunde:

Îndepărtarea hipotenței (h _c ), pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c 2 = m _* n

Astfel, valoarea hypotenusei este dată de:

Teorema picioarelor

Această teoremă afirmă că, în orice triunghi drept, măsura fiecărui picior va fi media proporțională geometrică (pătratul fiecărui picior) între măsurarea ipotezei (completă) și proiecția fiecăreia pe ea:

b2 = c _* m

a2 = c _* n

spectacol

Având în vedere un triunghi ABC, care este un dreptunghi la punctul C, astfel încât hipotensiunea sa este c, atunci când se compară înălțimea (h), se determină proeminențele picioarelor a și b, care sunt segmentele m și respectiv n. hypotenuse.

Astfel, avem în vedere că înălțimea desenată pe triunghiul drept ABC generează două triunghiuri drepte similare, ADC și BCD, astfel încât laturile corespunzătoare să fie proporționale, după cum urmează:

DB = n, care este proiecția piciorului CB pe hypotenuse.

AD = m, care este proiecția de cathetus AC pe hypotenuse.

Apoi, hypotenusa c este determinată de suma picioarelor proiecțiilor sale:

c = m + n

Datorită asemănării triunghiurilor ADC și BCD, trebuie să:

Cele de mai sus sunt aceleași cu:

Prin eliminarea piciorului "a" pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

a _* a = c _* n

a2 = c _* n

Astfel, valoarea piciorului "a" este dată de:

În mod similar, prin similitudinea triunghiurilor ACB și ADC, trebuie să:

Cele de mai sus sunt egale cu:

Prin eliminarea piciorului "b" pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

b _* b = c _* m

b2 = c _* m

Astfel, valoarea piciorului "b" este dată de:

Relația dintre teoremele lui Euclid

Teoremele referitoare la înălțime și la picioare sunt legate una de alta, deoarece măsurarea ambelor se face în raport cu ipotentul triunghiului drept.

Prin relația dintre teoremele lui Euclid se poate găsi și valoarea înălțimii; care este posibil prin eliminarea valorilor lui m și n de la teorema piciorului și înlocuirea lor în teorema înălțimii. În acest fel, înălțimea este egală cu înmulțirea picioarelor, împărțită de hypotenuse:

b2 = c _* m

m = b2 ÷ c

a2 = c _* n

n = a2 ÷ c

În teorema înălțimii, myn este înlocuit:

h _c 2 = m _* n

h _c 2 = (b2 ÷ c) _* (a2 ÷ c)

h _c = (b2 _* a2) ÷ c

Exerciții rezolvate

Exemplul 1

Având în vedere triunghiul ABC, dreptunghi în A, determina măsura AC și AD, dacă AB = 30 cm și BD = 18 cm

soluție

În acest caz, avem măsurătorile unuia dintre picioarele proiectate (BD) și ale unuia dintre picioarele triunghiului original (AB). În acest fel, teorema piciorului poate fi aplicată pentru a găsi valoarea piciorului BC.

AB2 = BD _* BC

(30) 2 = 18 _* BC

900 = 18 _* i.Hr.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Valoarea CD cathetus poate fi găsită știind că BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Acum este posibil să se determine valoarea cathetus AC, aplicând din nou teorema piciorului:

AC2 = CD _* BD

AC2 = 32 _* 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

Pentru a determina valoarea înălțimii (AD) se aplică teorema înălțimii, deoarece sunt cunoscute valorile picioarelor proiectate CD și BD:

AD2 = 32 _* 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemplul 2

Determinați valoarea înălțimii (h) a unui triunghi MNL, dreptunghi în N, cunoscând măsurătorile segmentelor:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

soluție

Aveți măsurarea unuia dintre picioarele proiectate pe ipotentă (PM), precum și măsurătorile picioarelor triunghiului original. În acest fel, teorema piciorului poate fi aplicată pentru a găsi valoarea celuilalt picior proiectat (LN):

NL2 = PM _* LM

(10) 2 = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

După cum știm deja valoarea picioarelor și a hypotenusei, prin relația dintre teoremele înălțimii și picioarelor, se poate determina valoarea înălțimii:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 _* a2) ÷ c.

h = (102 _* 52) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.