Geometria analitică: ce studii, istorie, aplicații
Geometria analitică studiază liniile și figurile geometrice prin aplicarea tehnicilor de algebră de bază și a analizelor matematice într-un sistem specific de coordonate.
În consecință, geometria analitică este o ramură a matematicii care analizează în detaliu toate datele figurilor geometrice, adică volumul, unghiurile, aria, punctele de intersecție, distanțele lor, printre altele.
Caracteristica fundamentală a geometriei analitice este aceea că permite reprezentarea figurilor geometrice prin formule.
De exemplu, cercurile sunt reprezentate prin ecuații polinomiale de gradul doi, în timp ce liniile sunt exprimate cu ecuații polinomiale de gradul I.
Geometria analitică a apărut în secolul al șaptesprezecelea prin necesitatea de a oferi răspunsuri la problemele care până acum nu aveau nici o soluție. A avut ca reprezentanți de vârf René Descartes și Pierre de Fermat.
În prezent, mulți autori o consideră o creație revoluționară în istoria matematicii, deoarece reprezintă începutul matematicii moderne.
Istoria geometriei analitice
Termenul de geometrie analitică apare în Franța în secolul al șaptesprezecelea prin nevoia de a da răspunsuri la probleme care nu puteau fi rezolvate folosind algebra și geometria în izolare, dar soluția era în combinația celor două.
Principalii reprezentanți ai geometriei analitice
În timpul secolului al XVII-lea, doi francezi, prin șansa vieții, au efectuat investigații care, într-un fel sau altul, au pus capăt creării unei geometrii analitice. Acești oameni erau Pierre de Fermat și René Descartes.
În prezent se consideră că creatorul geometriei analitice a fost René Descartes. Acest lucru se datorează faptului că și-a publicat cartea înainte de cea a lui Fermat, dar și de profunzimea pe care Descartes o ocupă cu subiectul geometriei analitice.
Cu toate acestea, atât Fermat, cât și Descartes au descoperit că liniile și figurile geometrice ar putea fi exprimate prin ecuații, iar ecuațiile ar putea fi exprimate ca linii sau figuri geometrice.
Conform descoperirilor făcute de cele două, se poate spune că ambii sunt creatorii de geometrie analitică.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat a fost un matematician francez care sa născut în 1601 și a murit în 1665. În timpul vieții sale a studiat geometria Euclid, Apollonius și Pappus, pentru a rezolva problemele de măsurare existente la acel moment.
Ulterior, aceste studii au dezlănțuit crearea geometriei. Acestea au fost exprimate în cartea sa " Introducere în locuri plate și solide " (Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), care a fost publicată la 14 ani după moartea sa în 1679.
Pierre de Fermat a aplicat în 1623 geometria analitică a teoremelor lui Apollonius pe locurile geometrice. De asemenea, el a aplicat pentru prima oară geometria analitică în spațiul a trei dimensiuni.
René Descartes
De asemenea, cunoscut sub numele de Cartesius a fost un matematician, fizician și filosof care sa născut la 31 martie 1596 în Franța și a murit în anul 1650.
René Descartes a publicat în 1637 cartea sa " Discursul asupra modului de conducere a dreptului rațional și a căutării adevărului în științe ", cunoscut mai degrabă sub numele de " Metoda ", și de acolo termenul de geometrie analitică a fost introdus în lume. Unul din apendicele său a fost "Geometria".
Elementele fundamentale ale geometriei analitice
Geometria analitică este alcătuită din următoarele elemente:
Sistemul de coordonate carteziene
Acest sistem este numit după René Descartes.
Nu a fost cel care la numit și nici nu a completat sistemul de coordonate cartezian, dar el a vorbit despre coordonatele cu numere pozitive, permițând viitorilor savanți să o completeze.
Acest sistem este compus din sistemul de coordonate dreptunghiulare și din sistemul de coordonate polare.
Sisteme de coordonate dreptunghiulare
Se numește sisteme de coordonate dreptunghiulare în planul format de linia a două linii numerice perpendiculare, unde punctul de tăiere coincide cu zero comun.
Apoi, acest sistem ar fi conform cu o linie orizontală și verticală.
Linia orizontală este axa X sau axa abscisei. Linia verticală ar fi axa Y sau axa ordinelor.
Sistemul de coordonate polar
Acest sistem este responsabil pentru verificarea poziției relative a unui punct în raport cu o linie fixă și un punct fix pe linie.
Ecuația carteziană a liniei
Această ecuație se obține dintr-o linie atunci când sunt cunoscute două puncte în care trece.
Linie dreaptă
Este una care nu se abate și, prin urmare, nu are curbe sau unghiuri.
conic
Acestea sunt curbele definite de liniile drepte care trec printr-un punct fix și punctele unei curbe.
Elipsa, circumferința, parabola și hiperbola sunt curbe conice. Fiecare dintre ele este descrisă mai jos.
chingă
Se numește circumferința curbei plane închise care este formată de toate punctele planului echidistant al unui punct interior, adică de centrul circumferinței.
parabolă
Este locusul punctelor planului echidistant de la un punct fix (focus) și o linie fixă (directrix). Apoi, îndrumarea și focalizarea sunt ceea ce definesc parabola.
Parabola poate fi obținută ca o secțiune a unei suprafețe conice de rotație printr-un plan paralel cu o generație.
elipsă
O elipsă este denumită curba închisă care descrie un punct atunci când se deplasează într-un plan astfel încât suma distanțelor sale la două (2) puncte fixe (numite foci) este constantă.
hiperbolă
Hyperbola este curba definită ca locus al punctelor planului, pentru care diferența dintre distanțele a două puncte fixe (focare) este constantă.
Hiperbola are o axă de simetrie care trece prin focare, numită axă focală. De asemenea, are alta mediatrice a segmentului care are puncte fixe de extreme.
aplicații
Există aplicații variate de geometrie analitică în diferite domenii ale vieții de zi cu zi. De exemplu, putem găsi parabola, unul dintre elementele fundamentale ale geometriei analitice, în multe dintre instrumentele utilizate astăzi. Unele dintre aceste instrumente sunt următoarele:
Antena satelit
Antenele parabolice au un reflector generat ca o consecință a unei parabole care se rotește pe axa antenei menționate. Suprafața generată ca urmare a acestei acțiuni se numește paraboloid.
Această capacitate a paraboloidului se numește proprietatea optică sau proprietatea de reflexie a unei parabole și datorită acestui fapt este posibil ca paraboloidul să reflecte undele electromagnetice pe care le primește de la mecanismul de alimentare care alcătuiește antena.
Hanging poduri
Când un coardă deține o greutate omogenă, dar, în același timp, este considerabil mai mare decât greutatea frânghiei în sine, rezultatul va fi o parabolă.
Acest principiu este fundamental pentru construirea de poduri de suspendare, care sunt de obicei susținute de structuri mari de cabluri din oțel.
Principiul parabolei în poduri suspendate a fost folosit în structuri precum Podul Golden Gate, situat în orașul San Francisco, în Statele Unite, sau Podul Mare al strâmtorii Akashi, care este situat în Japonia și leagă Insula Awaji cu Honshū, principala insulă a acestei țări.
Analiză astronomică
Geometria analitică a avut, de asemenea, utilizări foarte specifice și determinante în domeniul astronomiei. În acest caz, elementul de geometrie analitică care are etapa centrală este elipsa; Legea lui Johannes Kepler despre mișcarea planetelor este o reflectare a acestui fapt.
Kepler, matematician și astronom german, au stabilit că elipsa a fost curba care a făcut mai bine mișcarea lui Marte; anterior a încercat modelul circular propus de Copernic, dar în mijlocul experimentelor sale, el a dedus că elipsa a servit pentru a desena o orbită perfect asemănătoare cu planeta pe care a studiat-o.
Datorită elipsei, Kepler putea afirma că planetele s-au mutat în orbite eliptice; această considerație a fost enunțarea așa-numitei a doua lege a lui Kepler.
Din această descoperire, îmbogățită mai târziu de fizicianul și matematicianul englez Isaac Newton, a fost posibil să studiem mișcările orbitale ale planetelor și să creștem cunoștințele pe care le-am avut despre universul din care facem parte.
Telescopul Cassegrain
Telescopul Cassegrain este numit după inventatorul său, fizicianul francez Laurent Cassegrain. În acest telescop se folosesc principiile geometriei analitice, deoarece sunt compuse în principal din două oglinzi: prima este concavă și parabolică, iar cea de-a doua este caracterizată prin convexitate și hiperbolică.
Localizarea și natura acestor oglinzi permite ca defectul cunoscut ca aberație sferică să nu aibă loc; acest defect împiedică reflectarea razelor de lumină în focalizarea unei lentile date.
Telescopul Cassegrain este foarte util pentru observarea planetară, dar este și foarte versatil și ușor de manevrat.
