Reducerea termenilor similari (cu exerciții rezolvate)

Reducerea termenilor similari este o metodă folosită pentru a simplifica expresiile algebrice. Într-o expresie algebrică, termeni similari sunt cei care au aceeași variabilă; adică au aceleași necunoscute reprezentate de o scrisoare și au aceiași exponenți.

În unele cazuri polinoamele sunt extinse, iar pentru a ajunge la o soluție ar trebui să încercați să reduceți expresia; Acest lucru este posibil atunci când există termeni asemănători, care pot fi combinați prin aplicarea operațiilor și a proprietăților algebrice cum ar fi adunarea, scăderea, multiplicarea și împărțirea.

explicație

Termeni similari sunt formați din aceleași variabile cu aceiași exponenți, iar în unele cazuri aceștia sunt diferențiați numai prin coeficienții lor numerici.

Termeni similari sunt, de asemenea, considerați aceia care nu au variabile; adică acei termeni care au numai constante. Astfel, de exemplu, următoarele sunt termeni similari:

- 6x2 - 3x2. Ambii termeni au aceeași variabilă x2.

- 4a2b3 + 2a2b3. Ambii termeni au aceleași variabile a2b3.

- 7 - 6. Termenii sunt constanți.

Acești termeni care au aceleași variabile, dar cu exponenți diferiți, se numesc termeni non-similari, cum ar fi:

- 9a2b + 5ab. Variabilele au exponenți diferiți.

- 5x + y. Variabilele sunt diferite.

- b - 8. Un termen are o variabilă, cealaltă este o constantă.

Identificând termenii similari care formează un polinom, acestea pot fi reduse la unul, combinând toate cele care au aceleași variabile cu exponenți egali. În acest fel, expresia este simplificată prin scăderea numărului de termeni care o compun, iar calculul soluției sale este facilitat.

Cum de a face o reducere a termenilor similari?

Reducerea termenilor similari se face prin aplicarea proprietatii asociative a adaugarii si a proprietatii distributive a produsului. Utilizând următoarea procedură se poate face o reducere a termenilor:

- Mai întâi termenii similari sunt grupați.

- Se adaugă sau se scad coeficienții (numerele care însoțesc variabilele) ale termenilor similari și se aplică proprietățile asociative, comutative sau distributive, după caz.

- După scrierea noilor termeni obținuți, plasarea în fața acestora a semnului rezultat din operație.

exemplu

Reduceți termenii următoarei expresii: 10x + 3y + 4x + 5y.

soluție

În primul rând, termenii sunt ordonați să grupeze acelea care sunt similare, aplicând proprietatea comutativă:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Apoi se aplică proprietatea distributivă și se adaugă coeficienții care însoțesc variabilele pentru a obține reducerea termenilor:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) și

= 14x + 8y.

Pentru a reduce termenii similari, este important să țineți cont de semnele pe care le au coeficienții care însoțesc variabila. Există trei cazuri posibile:

Reducerea termenilor similari cu semne egale

În acest caz se adaugă coeficienții și înainte de rezultat se plasează semnul termenilor. Prin urmare, dacă sunt pozitive, termenii care rezultă vor fi pozitivi; în cazul în care termenii sunt negativi, rezultatul va avea semnul (-) însoțit de variabila. De exemplu:

a) 22ab2 + 12ab2 = 34 ab2.

b) -18x3-9x3-6 = -27x3-6.

Reducerea termenilor similari cu semne diferite

În acest caz coeficienții sunt scăzuți, iar în fața rezultatului este plasat semnul coeficientului mai mare. De exemplu:

a) 15x2y - 4x2y + 6x2y - 11x2y

= (15x2y + 6x2y) + (- 4x2y - 11x2y)

= 21x2y + (-15x2y)

= 21x2y - 15x2y

= 6x2y.

b) -5a3b + 3a3b - 4a3b + a3b

= (3a3b + a3b) + (-5a3b-4a3b)

= 4a3b - 9a3b

= -5 a3b.

În acest fel, pentru a reduce termenii similari care au semne diferite, se formează un singur termen aditiv cu toți cei cu un semn pozitiv (+), se adaugă coeficienții și rezultatul este însoțit de variabile.

În același mod se formează un termen substractiv, toți acei termeni care au un semn negativ (-), se adaugă coeficienții și rezultatul este însoțit de variabile.

În cele din urmă, sumele celor doi termeni formați sunt scăzute, iar rezultatul semnului celui mai mare este plasat.

Reducerea termenilor similari în operațiuni

Reducerea termenilor similari este o operație de algebră, care poate fi aplicată suplimentar, scăderea, multiplicarea și diviziunea algebrică.

În sumă

Când aveți mai multe polinoame cu termeni similari, pentru a le reduce, ordonați termenii fiecărui polinom păstrându-și semnele, apoi scrieți unul după celălalt și reduceți termenii similari. De exemplu, avem următoarele polinoame:

3x - 4xy + 7x2y + 5xy2.

- 6x2y - 2xy + 9x2 - 8x.

În scădere

Pentru a scădea un polinomial de la altul, este scris un minuend și apoi subtrahend cu semnele schimbate, iar apoi se face reducerea termenilor similari. De exemplu:

5a3 - 3ab2 + 3b2c

6ab2 + 2a3 - 8b2c

Astfel, polinomii sunt rezumați la 3a3 - 9ab2 + 11b2c.

În multiplicări

Într-un produs de polinoame se înmulțesc termenii care alcătuiesc multiplicarea pentru fiecare termen care formează multiplicatorul, considerând că semnele de multiplicare rămân aceleași dacă sunt pozitive.

Ele se vor schimba numai atunci când se înmulțesc cu un termen care este negativ; adică atunci când se înmulțește doi termeni ai aceluiași semn, rezultatul va fi pozitiv (+), iar atunci când vor avea semne diferite rezultatul va fi negativ (-).

De exemplu:

a) (a + b) _* (a + b)

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2.

b) (a + b) _* (a - b)

= a2 - ab + ab - b2

= a2 - b2.

c) (a - b) _* (a - b)

= a2 - ab - ab + b2

= a2 - 2ab + b2.

În diviziuni

Când doriți să reduceți două polinoame printr-o diviziune, trebuie să găsiți un al treilea polinom care, înmulțit cu al doilea (divizor), are ca rezultat primul polinom (dividend).

Pentru aceasta, termenii dividendului și divizorul trebuie ordonați, de la stânga la dreapta, astfel încât variabilele în ambele să fie în aceeași ordine.

Apoi diviziunea se face, începând cu primul termen din stânga dividendului dintre primul din stânga divizorului, ținând mereu cont de semnele fiecărui termen.

De exemplu, reduceți polinomul: 10x4 - 48x3y + 51x2y2 + 4xy3 - 15y4 împărțind-l între polinomul: -5x2 + 4xy + 3y2.

Polinomul rezultat este -2x2 + 8xy - 5y2.

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Reduceți termenii expresiei algebrice date:

15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab - 9 + 4a2 - 13 ab.

soluție

Se aplică proprietatea comutativă a sumei, grupând termenii care au aceleași variabile:

15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13

= (15a2 + 6a2 + 4a2) + (- 8ab - 6ab) + (9-13).

Apoi se aplică proprietatea distributivă a multiplicării:

15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13

= (15 + 6 + 4) a2 + (- 8 - 6) ab + (9-13).

În cele din urmă, acestea sunt simplificate prin adăugarea și scăderea coeficienților fiecărui termen:

15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13

= 25a2 - 14ab - 4.

Al doilea exercițiu

Simplificați produsul următorilor polinoame:

(8x3 + 7xy2) _* (8x3 - 7x2).

soluție

Înmulțiți fiecare termen al primului polinom cu cel de-al doilea, luând în considerare faptul că semnele termenilor sunt diferite; prin urmare, rezultatul multiplicării sale va fi negativ, așa cum trebuie să fie aplicate și legile exponenților.

(8x3 + 7xy2) _* (8x3 - 7xy2)

= 64 x6 - 56 x3 _* x2 + 56 x3 _* x2 - 49 x2y4

= 64 x6 - 49 x2y4.