Product Cross: proprietăți, aplicații și exerciții rezolvate

Produsul încrucișat sau produsul vectorial reprezintă o modalitate de a înmulți doi sau mai mulți vectori. Există trei moduri de multiplicare a vectorilor, dar niciuna dintre acestea nu este o multiplicare în sensul obișnuit al cuvântului. Una dintre aceste forme este cunoscută ca un produs vectorial, care are ca rezultat un al treilea vector.

Produsul vector, denumit și produs crud sau produs extern, are proprietăți algebrice și geometrice diferite. Aceste proprietăți sunt foarte utile, în special în studiul fizicii.

definiție

O definiție formală a produsului vectorial este următoarea: dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3) sunt vectori, atunci produsul vector al lui A și B, pe care îl vom desemna ca AxB,

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Datorită notei AxB, se citește ca "A cross B".

Un exemplu de utilizare a produsului exterior este că dacă A = (1, 2, 3) și B = (3, -2, 4) sunt vectori, atunci folosind definiția produsului vectorial avem:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 x 4 - 3 x 2, 3 x 3 x 1,

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

O altă modalitate de exprimare a vectorului este dată de notația determinantă.

Calculul unui determinant al doilea ordin este dat de:

Prin urmare, formula produsului vectori dat în definiție poate fi rescrisă după cum urmează:

Aceasta este de obicei simplificată într-un determinant de ordinul trei, după cum urmează:

Unde i, j, k reprezintă vectorii care formează baza lui R3.

Folosind acest mod de a exprima produsul încrucișat, avem ca exemplul anterior poate fi rescris ca:

proprietăţi

Unele proprietăți pe care le posedă produsul vector sunt următoarele:

Proprietatea 1

Dacă A este orice vector în R3, trebuie să:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Aceste proprietăți sunt ușor de verificat folosind doar definiția. Dacă A = (a1, a2, a3) trebuie să:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Dacă i, j, k reprezintă baza unitară a R3, le putem scrie după cum urmează:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Apoi, trebuie să îndeplinim următoarele proprietăți:

Ca regulă mnemonică, pentru a vă aminti aceste proprietăți, se utilizează de obicei cercul următor:

Acolo trebuie să reținem că orice vector cu el însuși are ca rezultat vectorul 0, iar restul produselor poate fi obținut cu următoarea regulă:

Produsul încrucișat al a doi vectori consecutivi în sensul acelor de ceasornic dă următorul vector; și când se ia în considerare direcția invers acelor de ceasornic, rezultatul este următorul vector cu semnul negativ.

Datorită acestor proprietăți putem vedea că produsul vectorial nu este comutativ; de exemplu, este suficient să observăm că ixj ≠ jx i. Următoarea proprietate ne spune cum se referă în general AxB și BxA.

Proprietatea 2

Dacă A și B sunt vectori ai R3, trebuie să:

AxB = - (BxA).

spectacol

Dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3), prin definiția produsului extern avem:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

De asemenea, putem observa că acest produs nu este asociativ cu următorul exemplu:

ix (ixj) = ixk = - j dar (ixi) xj = 0xj = 0

Din aceasta putem observa că:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Proprietatea 3

Dacă A, B, C sunt vectori ai lui R3 și r este un număr real, următorul lucru este adevărat:

- Axa (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Axă (rB)

Datorită acestor proprietăți putem calcula produsul vectorial folosind legile algebrei, cu condiția respectării ordinului. De exemplu:

Dacă A = (1, 2, 3) și B = (3, -2, 4), le putem rescrie în baza canonică a lui R3.

Astfel, A = i + 2j + 3k și B = 3i - 2j + 4k. Apoi, aplicând proprietățile anterioare:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) -4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi)

= 3 (0) -2 (k) + 4 (-j) + 6 (-k) -4 (0) + 8 (i) + 9 (j)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Proprietatea 4 (produs triplu scalar)

Așa cum am menționat la început, există și alte modalități de a multiplica vectori în afară de produsul vectorial. Una dintre aceste metode este produsul scalar sau produsul intern, care este notat cu A ∙ B și a cărui definiție este:

Dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3), atunci A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Proprietatea care se referă la ambele produse este cunoscută ca produsul scalar triplu.

Dacă A, B și C sunt vectori ai lui R3, atunci A ∙ BxC = AxB ∙ C

Ca exemplu, să vedem că, dată fiind A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) și C = (- 5, 1, - 4), această proprietate este îndeplinită.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, -2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) +

Pe de altă parte:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4)

Un alt produs triplă este Ax (BxC), care este cunoscut ca un produs triplu vectorial.

Proprietatea 5 (produs triplu vector)

Dacă A, B și C sunt vectori ai lui R3, atunci:

Axă (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ca exemplu, să vedem că, dată fiind A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) și C = (- 5, 1, - 4), această proprietate este îndeplinită.

Din exemplul precedent știm că BxC = (- 18, - 22, 17). Să calculăm Axa (BxC):

Axă (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Pe de altă parte, trebuie:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, 4) = (1) (- 5) + 1 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) 4 = - 3

Deci, trebuie:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 12) = (- 27, 19, -4)

Proprietate 6

Este una dintre proprietățile geometrice ale vectorilor. Dacă A și B sunt doi vectori în R3 și Θ este unghiul care se formează între acestea, atunci:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), unde || ∙ || denotă modulul sau magnitudinea unui vector.

Interpretarea geometrică a acestei proprietăți este după cum urmează:

Fie A = PR și B = PQ. Apoi, unghiul format de vectorii A și B este unghiul P al triunghiului RQP, așa cum se arată în figura următoare.

Prin urmare, aria paralelogramului cu laturile adiacente PR și PQ este || A |||| B || sin (Θ), deoarece putem lua ca bază || A || iar înălțimea lui este dată de || B || sin (Θ).

Din acest motiv, putem concluziona că || AxB || este zona paralelogramului menționat.

exemplu

Având în vedere următoarele noduri ale lui P (1, -2, 3), Q (4, 3, -1), R (2, 2, 1) și S (5, 7, -3) Este un paralelogram și își găsește zona.

Pentru aceasta, determinăm mai întâi vectorii care determină direcția laturilor patrulaterului. Aceasta este:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Așa cum putem observa că A și C au același director vectorial, pentru care avem că ambele sunt paralele; în același mod se întâmplă și cu B și D. Prin urmare, concluzionăm că PQRS este un paralelogram.

Pentru a avea aria paralelogramului menționat, calculăm BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Prin urmare, zona pătrată va fi:

| BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Se poate concluziona că zona paralelogramului va fi rădăcina pătrată de 89.

Proprietatea 7

Doi vectori A și B sunt paralele în R3 dacă și numai dacă AxB = 0

spectacol

Este clar că dacă A sau B sunt vectorul nul, rezultă că AxB = 0. Deoarece vectorul zero este paralel cu orice alt vector, atunci proprietatea este validă.

Dacă nici unul dintre cei doi vectori nu este vectorul zero, avem că magnitudinea lor este diferită de zero; adică, ambele || A || ≠ 0 ca || B || ≠ 0, așa că va trebui să || AxB || = 0 dacă și numai dacă păcatul (Θ) = 0, iar acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă Θ = π sau Θ = 0.

Prin urmare, putem încheia AxB = 0 dacă și numai dacă Θ = π sau Θ = 0, care se întâmplă numai atunci când ambele vectori sunt paralele unul cu altul.

Proprietate 8

Dacă A și B sunt doi vectori în R3, atunci AxB este perpendicular pe ambele A și B.

spectacol

Pentru această demonstrație, rețineți că doi vectori sunt perpendiculați dacă A ∙ B este egal cu zero. În plus, știm că:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, dar AxA este egal cu 0. Prin urmare, trebuie să:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Prin aceasta putem concluziona că A și AxB sunt perpendiculare una pe cealaltă. Într-un mod analog, trebuie:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Ca BxB = 0, trebuie să:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Prin urmare, AxB și B sunt perpendiculare între ele și, prin aceasta, proprietatea este demonstrată. Acest lucru este foarte util, deoarece ne permit să determinăm ecuația unui avion.

Exemplul 1

Obțineți o ecuație a planului care trece prin punctele P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) și R (2, 1, 3).

Fie A = QR = (2 - 3, 1 + 2, 3 - 2) și B = PR = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 2). Apoi A = - i + 3j + k și B = i - 2j + k. Pentru a găsi planul format de aceste trei puncte, este suficient să găsim un vector care este normal față de plan, care este AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Cu acest vector și luând punctul P (1, 3, 2), putem determina ecuația planului după cum urmează:

(X - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3)

Deci, avem că ecuația planului este 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exemplul 2

Găsiți ecuația planului care conține punctul P (4, 0, - 2) și care este perpendicular pe fiecare dintre planurile x - y + z = 0 și 2x + y - 4z - 5 = 0.

Știm că un vector normal la o axă plană + de + cz + d = 0 este (a, b, c), avem că (1, -1, 1) este un vector normal al x - y + z = 0 y 2.1, - 4) este un vector normal de 2x + y - 4z - 5 = 0.

Prin urmare, un vector normal în planul dorit trebuie să fie perpendicular pe (1, -1, 1) și a (2, 1, - 4). Acest vector este:

(1, -1, 1) x (2, 1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Apoi, că planul căutat este acela care conține punctul P (4, 0, - 2) și are vectorul (3, 6, 3) ca vector normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

aplicații

Calcularea volumului unui paralelipiped

O aplicație care are produsul triplu scalar trebuie să poată calcula volumul unui paralelipiped al cărui margini sunt date de vectorii A, B și C, după cum se arată în figură:

Putem deduce această aplicație în felul următor: după cum am spus anterior, vectorul AxB este un vector care este normal față de planul A și B. De asemenea, avem vectorul - (AxB) care este un alt vector normal în planul respectiv.

Alegem vectorul normal care formează cel mai mic unghi cu vectorul C; fără pierderea generalității, să fie AxB vectorul a cărui unghi cu C este cel mai mic.

Avem ca atat AxB cat si C au acelasi punct de plecare. În plus, știm că zona paralelogramului care formează baza paralelipipedului este || AxB ||. Prin urmare, dacă înălțimea paralelipipedului este dată de h, avem ca volumul său să fie:

V = || AxB || h.

Pe de altă parte, luați în considerare produsul scalar între AxB și C, care poate fi descris după cum urmează:

Cu toate acestea, prin proprietățile trigonometrice avem h = || C || cos (Θ), deci trebuie să:

În acest fel, trebuie:

În termeni generali, avem în vedere că volumul unui paralelipiped este dat de valoarea absolută a produsului triplu scalar AxB ∙ C.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Având în vedere punctele P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) și S = (2, 6, 9), aceste puncte formează un paralelipiped ele sunt PQ, PR și PS. Determinați volumul paralelipipedului menționat.

soluție

Dacă luăm:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Folosind proprietatea produsului triplu scalar, trebuie:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Prin urmare, avem ca volumul paralelipipedului menționat să fie de 52.

Exercițiul 2

Determinați volumul unui paralelipiped al cărui margini sunt date de A = PQ, B = PR și C = PS, unde punctele P, Q, R și S sunt (1, 3, 4), (3, 5, (2, 1, 6) și respectiv (2, 2, 5).