Triunghi triunghiular: caracteristici, formule și arie, calcul

Un triunghi isoscel este un poligon cu trei laturi, în cazul în care două dintre ele au aceeași măsură, iar a treia parte o măsură diferită. Această ultimă latură se numește bază. Datorită acestei caracteristici a fost dat acest nume, care în greacă înseamnă "picioare egale"

Triunghiurile sunt poligoane considerate a fi cele mai simple în geometrie, deoarece ele sunt formate din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. Acestea sunt cele care au cel mai mic număr de laturi și unghiuri față de celelalte poligoane, însă utilizarea lor este foarte extinsă.

Caracteristicile triunghiurilor isoscel

Triunghiul izoscel a fost clasificat folosind parametrul laturilor sale ca parametru, deoarece două dintre laturile sale sunt congruente (ele au aceeași lungime).

Conform amplitudinii unghiurilor interne, triunghiurile isosceles sunt clasificate ca:

Dreptunghiular triunghi isoscel : două laturi sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este drept (90o) iar celelalte sunt egale (45o fiecare)
Isoscele de triunghi obosos : două părți laterale sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este obtuz (> 90o).
Isoscele triunghi acut : două laturi sunt egale. Toate unghiurile sunt acute (<90o), unde două au aceeași măsură.

componente

Mediana : este o linie care iese din mijlocul unei părți și ajunge la vârful opus. Cei trei medii se întâlnesc într-un punct numit centroid sau centroid.
Bisectorul : este o rază care împarte unghiul fiecărui vârf în două unghiuri de dimensiune egală. Acesta este motivul pentru care este cunoscut ca axa de simetrie și acest tip de triunghiuri are numai unul.
Bisectorul perpendicular : este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care provine din mijlocul acestuia. Există trei mediatice într-un triunghi și concur într-un punct numit circumcenter.
Înălțimea : este linia care merge de la vârf la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi, care coincid într-un punct numit orthocenter.

proprietăţi

Triunghiurile isosceles sunt definite sau identificate deoarece au mai multe proprietăți care le reprezintă, provenite din teoremele propuse de marii matematicieni:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interne este întotdeauna egală cu 180o.

Suma laturilor

Suma măsurilor a două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, a + b> c.

Fețe congruente

Triunghiurile triunghiulare au două laturi cu aceeași măsură sau lungime; adică sunt congruente și partea a treia este diferită de acestea.

Unghiuri congruente

Triunghiurile triunghiulare sunt cunoscute și ca triunghiuri izo-unghiulare, deoarece au două unghiuri care au aceeași măsură (congruente). Acestea sunt situate la baza triunghiului, vizavi de laturile care au aceeași lungime.

Din acest motiv, teorema care stabilește că:

"Dacă un triunghi are două laturi congruente, unghiurile opuse acestor laturi vor fi, de asemenea, congruente". Prin urmare, dacă un triunghi este izoscele, unghiurile bazelor sale sunt congruente.

exemplu:

Figura următoare prezintă un triunghi ABC. Prin urmărirea bisectorului său de la vârful unghiului B la bază, triunghiul este împărțit în două triunghiuri egale BDA și BDC:

Astfel, unghiul vârfului B a fost de asemenea împărțit în două unghiuri egale. Bisectorul este acum partea (BD) comună între cele două noi triunghiuri, în timp ce laturile AB și BC sunt laturile congruente. Acesta este cazul părții de congruență, unghiului, laturii (LAL).

Aceasta arată că unghiurile vârfurilor A și C au aceeași măsură, așa cum se poate arăta, de asemenea, că, deoarece triunghiurile BDA și BDC sunt congruente, laturile AD și DC sunt de asemenea congruente.

Înălțimea, medianul, bisectorul și bisectorul coincid

Linia care este trasă de la vârful opus bazei până la punctul central al bazei triunghiului isoscel, este în același timp înălțimea, medianul și bisectorul, precum și bisectorul față de unghiul opus al bazei.

Toate aceste segmente coincid într-una care le reprezintă.

exemplu:

Figura următoare prezintă triunghiul ABC cu un punct central M care împarte baza în două segmente BM și CM.

Când desenați un segment de la punctul M la vârful opus, prin definiție obțineți AM median, care este relativ la vârful A și partea BC.

Deoarece segmentul AM împarte triunghiul ABC în două triunghiuri egale AMB și AMC, înseamnă că va exista prezența congruenței laterale, unghiulare și laterale și, prin urmare, AM va fi și bisectorul BÂC.

De aceea bisectorul va fi întotdeauna egal cu media și invers.

Segmentul AM formează unghiuri care au aceeași măsură pentru triunghiurile AMB și AMC; adică sunt complementare, astfel încât măsura fiecăruia va fi:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180

2 _* Med. (AMC) = 180 °

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90

Se poate ști că unghiurile formate de segmentul AM față de baza triunghiului sunt drepte, ceea ce indică faptul că acest segment este complet perpendicular pe bază.

Prin urmare, ea reprezintă înălțimea și bisectorul, știind că M este punctul central.

Prin urmare, linia dreaptă AM:

Acesta reprezintă înălțimea lui BC.
Este mediu.
Este inclus în mediatrixul BC.
Acesta este bisectorul unghiului vertexului Â

Înălțimi relative

Înălțimile care sunt relativ la laturile egale, au aceeași măsură.

Deoarece triunghiul isoscel are două părți egale, cele două înălțimi respective vor fi egale.

Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter coincid

Deoarece înălțimea, medianul, bisectorul și bisectorul față de bază sunt reprezentate în același timp de același segment, ortocentrul, centrocentricul stimulator și circumcenterul vor fi puncte colineare, adică vor fi pe aceeași linie:

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat de suma laturilor.

Ca și în acest caz triunghiul isoscel are două laturi cu aceeași măsură, perimetrul său se calculează cu următoarea formulă:

P = 2 _* (partea a) + (partea b).

Cum se calculează înălțimea?

Înălțimea este linia perpendiculară pe bază, împărțind triunghiul în două părți egale prin extinderea spre vârful opus.

Înălțimea reprezintă piciorul opus (a), jumătate din baza (b / 2) piciorului adiacent, iar partea "a" reprezintă ipoteza.

Cu ajutorul teoremei Pitagorean puteți determina valoarea înălțimii:

a2 + b2 = c2

în cazul în care:

a 2 = înălțimea (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = partea a.

Înlocuirea acestor valori în teorema lui Pitagora și înlăturarea înălțimii pe care o avem:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Dacă este cunoscut unghiul format de laturile congruente, înălțimea poate fi calculată cu următoarea formulă:

Cum se calculează zona?

Suprafața triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind baza cu înălțimea și împărțind în două:

Există cazuri în care se cunosc numai măsurătorile a două laturi ale triunghiului și unghiul format între ele. În acest caz, pentru a determina zona este necesar să se aplice rapoartele trigonometrice:

Cum se calculează baza triunghiului?

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, pentru a determina valoarea bazei sale, este necesar să se cunoască cel puțin măsura înălțimii sau unghiul său.

Cunoscând înălțimea teoremei pitagoreene:

a2 + b2 = c2

în cazul în care:

a2 = înălțime (h).

c2 = partea a.

b2 = b / 2, este necunoscut.

Clarăm b2 cu formula și trebuie să:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Deoarece această valoare corespunde unei jumătăți din baza, aceasta trebuie multiplicată cu două pentru a obține măsura completă a bazei triunghiului isoscel:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

În cazul în care se cunoaște numai valoarea laturilor lor egale și a unghiului dintre ele, este aplicată trigonometria, urmărind o linie de la vârf la baza care împarte triunghiul izoscel în două triunghiuri drepte.

În acest fel, jumătate din bază se calculează cu:

Este, de asemenea, posibil ca doar valoarea înălțimii și unghiului vârfului care este opusă față de bază să fie cunoscută. În acest caz, prin trigonometrie, baza poate fi determinată:

pregătire

Primul exercițiu

Găsiți zona triunghiului izocic ABC, știind că două dintre fețele sale măsoară 10 cm, iar a treia parte măsoară 12 cm.

soluție

Pentru a găsi zona triunghiului este necesar să se calculeze înălțimea folosind formula din zona care este legată de teorema lui Pythagorean, deoarece valoarea unghiului format între laturile egale nu este cunoscută.

Avem următoarele date ale triunghiului isoscel:

Fețe egale (a) = 10 cm.
Baza (b) = 12 cm.

Valorile din formula sunt înlocuite:

Al doilea exercițiu

Lungimea celor două laturi egale ale unui triunghi isoscel are o lungime de 42 cm, unirea acestor laturi formând un unghi de 130 °. Determinați valoarea celei de-a treia părți, a acelui triunghi și a perimetrului.

soluție

În acest caz, sunt cunoscute măsurătorile laturilor și unghiul dintre ele.

Pentru a cunoaște valoarea laturii lipsă, adică a bazei acelui triunghi, tragem o linie perpendiculară pe ea, împărțind unghiul în două părți egale, câte unul pentru fiecare triunghi drept care se formează.

Fețe egale (a) = 42 cm.
Unghi (Ń) = 130o

Acum, prin trigonometrie, se calculează valoarea jumătății de bază, care corespunde jumătății de hypotenuse:

Pentru a calcula aria este necesară cunoașterea înălțimii acelui triunghi care poate fi calculată prin trigonometrie sau prin teorema lui Pitagora, acum că valoarea bazei a fost deja determinată.

Prin trigonometrie va fi: