Limita Fermat: din ce constă și exerciții rezolvate

Limita Fermat este o metodă numerică folosită pentru a obține valoarea pantei unei linii care este tangentă la o funcție la un anumit punct din domeniul său. Este, de asemenea, utilizat în obținerea punctelor critice ale unei funcții. Expresia sa este definită ca:

Este evident că Fermat nu cunoștea elementele de bază ale derivării, totuși studiile sale au determinat un grup de matematicieni să întrebe liniile tangente și aplicațiile lor în calcul.

Care este limita Fermat?

Se compune dintr-o abordare de 2 puncte, care în condiții anterioare formează o linie secantă a funcției cu intersecție în perechi de valori.

Atunci când se apropie variabila de valoarea "a", perechea de puncte care trebuie găsită este forțată. În acest fel, linia secantă anterior devine tangentă la punctul (a; f (a)).

Valoarea coeficientului (x - a), atunci când este evaluată la punctul "a", dă o indeterminare a limitelor de tip K între zero (K / 0). În cazul în care, prin diferite tehnici de factoring, aceste indeterminări pot fi rupte.

Cele mai utilizate tehnici de operare sunt:

-Diferența pătratelor (a2 - b2) = (a + b) (a - b); Existența elementului (a-b) implică, în multe cazuri, factorul care simplifică expresia (x-a) în raportul limitei Fermat.

- Completarea patratelor (ax2 + bx); După completarea pătratelor se obține un binomial Newton, unde unul din cei doi factori este simplificat cu expresia (x - a), rupând indeterminarea.

- conjugat (a + b) / (a + b); Multiplicarea și împărțirea expresiei prin conjugatul unui anumit factor poate fi de mare ajutor pentru a rupe indeterminarea.

- factor comun; În multe cazuri, rezultatul operării numărului de limită Fermat f (x) - f (a) ascunde factorul (x - a) necesar factorului. Pentru aceasta se observă cu atenție ce elemente se repetă în fiecare factor al expresiei.

Aplicarea limitei Fermat pentru maxim și minim

Chiar dacă limita Fermat nu face diferența între maxime și minime, deoarece poate identifica numai punctele critice conform definiției sale, ea este folosită în mod obișnuit la calcularea opririlor sau a etajelor funcțiilor din plan.

O cunoaștere de bază despre teoria grafică a funcțiilor în legătură cu această teoremă poate fi suficientă pentru a stabili valorile maxime și minime între funcții. De fapt, punctele de inflexiune pot fi definite de teorema valorii medii pe lângă teorema lui Fermat.

Parabola cubică

Paradoxul cel mai important pentru Fermat a venit din studierea parabolei cubice. Deoarece atenția lui a fost îndreptată spre liniile tangente ale unei funcții pentru un anumit punct, el a întâlnit problema definirii liniei tangente la punctul de inflexiune existent în funcție.

Se părea imposibil să se determine linia tangentă până la un punct. Astfel începe ancheta care ar da naștere unui calcul diferențial. Definiți mai târziu de exponenții importanți ai matematicii.

Maxim și minim

Studiul funcției maxime și minime a unei funcții a reprezentat o provocare pentru matematica clasică, unde a fost necesară o metodă clară și practică pentru definirea acestora.

Fermat a creat o metodă bazată pe funcționarea unor valori diferențiale mici, care, după procesele de factoring, sunt eliminate, dând loc valorii maxime și minime solicitate.

Această variabilă va trebui evaluată în expresia originală pentru a determina coordonatele punctului menționat, care împreună cu criteriile analitice vor fi definite ca expresie maximă sau minimă.

metodă

În metoda sa, Fermat folosește simbolismul literal al lui Vieta, care constă în folosirea exclusivă a majusculelor: vocale, pentru necunoscute și consonanțe pentru cantitățile cunoscute.

În cazul valorilor radicale, Fermat a implementat un proces special, care ulterior ar fi folosit în factorizările limitelor de infinitate infinită dintre infinit.

Acest proces constă în împărțirea fiecărei expresii la valoarea diferenței utilizate. În cazul lui Fermat a folosit litera E, unde după diviziunea dintre puterea mai mare a E, valoarea dorită a punctului critic devine clară.

istorie

Limita lui Fermat este, de fapt, una dintre contribuțiile de mai puțină popularitate în lista lungă a matematicienilor. Studiile lui au variat de la numerele prime la crearea bazelor de calcul.

În același timp, Fermat era cunoscut pentru excentricitățile sale cu privire la ipotezele sale. A fost obișnuit pentru el să lase un fel de provocare celorlalți matematicieni ai timpului, când a avut deja soluția sau demonstrația.

Avea o mare varietate de dispute și alianțe cu diferiți matematicieni ai timpului, care i-au iubit sau au urât să lucreze cu el.

Ultima lui teoremă a fost în primul rând responsabilă pentru faima sa mondială, unde a susținut că o generalizare a teoremei pitagoreene pentru orice grad "n" a fost imposibilă. El a spus că a avut o demonstrație valabilă, dar a murit înainte de ao face publică.

Această demonstrație trebuia să aștepte aproximativ 350 de ani. În 1995, matematicienii Andrew Wiles și Richard Taylor au pus capăt anxietății lăsate de Fermat, arătând că el avea dreptate printr-o demonstrație valabilă a ultimei sale teoreme.