Teorema lui Varignon: exemple și exerciții rezolvate
Teorema lui Varignon afirmă că, dacă în orice patrulater, punctele mediane ale laturilor se alătură continuu, se generează un paralelogram. Această teoremă a fost formulată de Pierre Varignon și publicată în 1731 în cartea Elemente de matematică . "
Publicarea cărții a avut loc la ani după moartea sa. Din moment ce Varignon a fost cel care a prezentat această teoremă, paralelograma este numită după el. Teorema se bazează pe geometria euclidiană și prezintă relațiile geometrice ale quadrilaterals.
Care este teorema lui Varignon?
Varignon a susținut că o figură definită de midpoint-urile unui patrulater va duce întotdeauna la un paralelogram și zona va fi întotdeauna jumătate din suprafața lui quadrilateral dacă este plat și convex. De exemplu:
În figură se poate vedea un patrulater cu o zonă X, unde midpoints de laturi sunt reprezentate de E, F, G și H și, atunci când sunt unite, formează un paralelogram. Suprafața patrulaterului va fi suma zonelor triunghiurilor formate și jumătate din acestea corespund zonei paralelogramului.
Deoarece zona paralelogramului este jumătate din suprafața patrulaterală, se poate determina perimetrul paralelogramului respectiv.
Astfel, perimetrul este egal cu suma lungimilor diagonale ale patrulaterului; acest lucru se datorează faptului că medianii patrulaterali vor fi diagonalele paralelogramului.
Pe de altă parte, dacă lungimile diagonale ale patrulaterului sunt exact aceleași, paralelogramul va fi un diamant. De exemplu:
Din figură se poate observa că, prin îmbinarea punctelor medii ale laturilor patrulaterului, se obține un romb. Pe de altă parte, dacă diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare, paralelogramul va fi un dreptunghi.
De asemenea, paralelogramul va fi un pătrat când quadrilateral are diagonalele cu aceeași lungime și, de asemenea, să fie perpendicular.
Teorema nu este realizată doar în quadrilaterals plane, ci este implementată și în geometrie spațială sau în dimensiuni mari; adică în acele quadrilaterals care nu sunt convexe. Un exemplu de acest lucru poate fi un octaedru, unde midpoints sunt centroizii fiecărei fețe și formează un paralelipiped.
În acest fel, prin îmbinarea punctelor medii ale diferitelor figuri, se pot obține paralelograme. O modalitate simplă de a verifica dacă este adevărat este că părțile opuse trebuie să fie paralele când sunt prelungite.
Exemple
Primul exemplu
Prelungirea laturilor opuse pentru a arăta că este o paralelogramă:
Al doilea exemplu
Prin aderarea la punctele mediane ale unui diamant obținem un dreptunghi:
Teorema este folosită pentru unirea punctelor situate în mijlocul laturilor unui patrulater și poate fi de asemenea utilizată pentru alte tipuri de puncte, cum ar fi trizația, penta-secțiunea sau chiar un număr infinit de secțiuni ( nth), pentru a împărți laturile oricărui patrulater în segmente proporționale.
Exerciții rezolvate
Exercițiul 1
Avem în figură o ABCD patrulaterală a zonei Z, unde părțile mediane ale acestora sunt PQSR. Verificați dacă se formează o paralelogramă de Varignon.
soluție
Se poate verifica faptul că, atunci când aderăm la punctele PQSR, se formează o paralelogramă a lui Varignon, tocmai pentru că în declarație sunt date mediile unui patrulater.
Pentru a demonstra acest lucru, punctele medii PQSR sunt unite, astfel încât se poate observa că se formează un alt patrulater. Pentru a arăta că este o paralelogramă, trebuie doar să trasăm o linie dreaptă de la punctul C la punctul A, astfel încât să vedem că CA este paralelă cu PQ și RS.
În mod similar, prin extinderea laturilor PQRS se poate observa că PQ și RS sunt paralele, așa cum se arată în următoarea imagine:
Exercițiul 2
Are un dreptunghi astfel încât lungimile tuturor laturilor sale să fie egale. La aderarea la mijlocul acestor laturi se formează un romb ABCD, divizat de două diagonale AC = 7cm și BD = 10cm, care coincid cu măsurătorile laturilor dreptunghiului. Determinați zonele de diamant și dreptunghi.
soluție
Amintim că zona paralelogramului rezultat este jumătate din suprafața patrulaterală, puteți determina suprafața acestora cunoscând că măsura diagonalelor coincide cu laturile dreptunghiului. Deci trebuie să:
AB = D
CD = d
Un dreptunghi = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2
Un diamant = Un dreptunghi / 2
Un romb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2
Exercitarea 3
Avem în figură un patrulater care are unirea punctelor EFGH, lungimile segmentelor sunt date. Determinați dacă legarea EFGH este o paralelă.
AB = 2, 4 CG = 3, 06
EB = 1, 75 GD = 2, 24
BF = 2, 88 DH = 2, 02
FC = 3, 94 HA = 2, 77
soluție
Având în vedere lungimea segmentelor, este posibil să se verifice dacă există proporționalitate între segmente; adică, putem ști dacă acestea sunt paralele, legând segmentele patrulaterului în felul următor:
- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37
- AH / HD = 2, 77 / 2, 02 = 1, 37
- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37
- CG / GD = 3, 06 / 2, 24 = 1, 37
Apoi, proporționalitatea este verificată, deoarece:
AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD
Similar, atunci când se trasează o linie de la punctul B la punctul D, putem vedea că EH este paralel cu BD, la fel cum BD este paralel cu FG. Pe de altă parte, EF este paralel cu GH.
În acest fel se poate determina că EFGH este un paralelogram, deoarece părțile opuse sunt paralele.
