Proprietățile egalității

Proprietățile egalității se referă la relația dintre două obiecte matematice, fie numere, fie variabile. Este marcat cu simbolul «=», care se întinde întotdeauna între aceste două obiecte. Această expresie este utilizată pentru a stabili că două obiecte matematice reprezintă același obiect; într-un alt cuvânt, că două obiecte sunt același lucru.

Există cazuri în care este banal să folosim egalitatea. De exemplu, este clar că 2 = 2. Cu toate acestea, când vine vorba de variabile, nu mai este banal și are utilizări specifice. De exemplu, dacă aveți y = x iar pe de altă parte x = 7, puteți concluziona că y = 7 de asemenea.

Exemplul anterior se bazează pe una dintre proprietățile egalității, așa cum se va vedea în scurt timp. Aceste proprietăți sunt indispensabile pentru rezolvarea ecuațiilor (egalități care implică variabile), care formează un aspect foarte important în matematică.

Care sunt proprietățile egalității?

Proprietate reflexivă

Proprietatea reflexivă, în cazul egalității, afirmă că fiecare număr este egal cu el însuși și este exprimat ca b = b pentru orice număr real b.

În cazul particular al egalității, această proprietate pare să fie evidentă, dar într-un alt tip de relație între numere nu este. Cu alte cuvinte, nu orice relație de număr real îndeplinește această proprietate. De exemplu, un astfel de caz al relației "less than" (<); nici un număr nu este mai mic decât el însuși.

Proprietate simetrică

Proprietatea simetrică pentru egalitate spune că dacă a = b, atunci b = a. Indiferent de ce ordine este folosită în variabile, acest lucru va fi păstrat de relația de egalitate.

O anumită analogie a acestei proprietăți poate fi observată cu proprietatea comutativă în cazul adăugării. De exemplu, datorită acestei proprietăți este echivalentă cu scrierea y = 4 sau 4 = y.

Proprietate tranzitabilă

Proprietatea tranzitivă în egalitate afirmă că dacă a = b și b = c, atunci a = c. De exemplu, 2 + 7 = 9 și 9 = 6 + 3; prin urmare, prin proprietatea tranzitivă avem 2 + 7 = 6 + 3.

O aplicație simplă este următoarea: să presupunem că Julian are 14 ani și că Mario este la aceeași vârstă ca și Rosa. Dacă Rosa este la aceeași vârstă ca Julian, câți ani este Mario?

În spatele acestui scenariu, proprietatea tranzitivă este folosită de două ori. Matematic se interpretează astfel: să fie "a" vârsta lui Mario, "b" vârsta lui Rosa și "c" vârsta lui Julian. Se știe că b = c și c = 14.

Pentru proprietatea tranzitivă avem b = 14; care este, Rosa are 14 ani. Deoarece a = b și b = 14, folosind proprietatea tranzitivă din nou, avem a = 14; adică, că vârsta lui Mario este de asemenea de 14 ani.

Proprietatea uniformă

Proprietatea uniformă este aceea că, dacă ambele părți ale egalității sunt adăugate sau înmulțite cu aceeași sumă, egalitatea este păstrată. De exemplu, dacă 2 = 2, atunci 2 + 3 = 2 + 3, care este clar, atunci 5 = 5. Această proprietate are mai multă utilitate atunci când vine vorba de rezolvarea unei ecuații.

De exemplu, să presupunem că vi se cere să rezolvați ecuația x-2 = 1. Este convenabil să ne amintim că rezolvarea unei ecuații constă în determinarea explicită a variabilei (sau a variabilelor) implicate, pe baza unui număr specific sau a unei variabile specificate anterior.

Revenind la ecuația x-2 = 1, ceea ce trebuie făcut este să găsim în mod explicit valoarea x. Pentru aceasta, variabila trebuie să fie eliminată.

A fost în mod eronat învățat că în acest caz, deoarece numărul 2 este negativ, trece pe cealaltă parte a egalității cu un semn pozitiv. Dar nu este corect să spun așa.

Practic, ceea ce se face este să se aplice proprietatea uniformă, așa cum vom vedea mai jos. Ideea este să ștergeți "x"; adică, lăsați-o singură pe o parte a ecuației. Prin convenție este de obicei lăsată pe partea stângă.

În acest scop, numărul pe care doriți să îl eliminați este -2. Modul de a face acest lucru ar fi adăugarea a 2, deoarece -2 + 2 = 0 și x + 0 = 0. Pentru a face acest lucru fără a altera egalitatea, aceeași operațiune trebuie aplicată și pe cealaltă parte.

Acest lucru permite ca proprietatea uniformă să fie realizată: ca x-2 = 1, dacă numărul 2 este adăugat pe ambele părți ale egalității, proprietatea uniformă spune că același lucru nu este modificat. Atunci avem x 2 + 2 = 1 + 2, ceea ce echivalează cu a spune că x = 3. Cu aceasta ecuația ar fi rezolvată.

În mod similar, dacă doriți să rezolvați ecuația (1/5) y-1 = 9, puteți continua să utilizați proprietatea uniformă după cum urmează:

În general, se pot face următoarele declarații:

- Dacă ab = cb, atunci a = c.

- Dacă xb = y, atunci x = y + b.

- Dacă (1 / a) z = b, atunci z = a ×

- Dacă (1 / c) a = (1 / c) b, atunci a = b.

Proprietatea de anulare

Proprietatea anulară este un caz special de proprietate uniformă, în special în ceea ce privește cazurile de scădere și împărțire (care, în cele din urmă, corespund adăugării și multiplicării). Această proprietate tratează acest caz separat.

De exemplu, dacă 7 + 2 = 9, atunci 7 = 9-2. Sau dacă 2y = 6, atunci y = 3 (împărțit de două pe ambele părți).

În mod analog cu cazul anterior, prin proprietatea de anulare se pot stabili următoarele afirmații:

- Dacă a + b = c + b, atunci a = c.

- Dacă x + b = y, atunci x = yb.

- Dacă az = b, atunci z = b / a.

- Dacă ca = cb, atunci a = b.

Proprietate de înlocuire

Dacă știm valoarea unui obiect matematic, proprietatea de substituție afirmă că această valoare poate fi substituită în orice ecuație sau expresie. De exemplu, dacă b = 5 și a = bx, atunci substituind valoarea "b" în a doua egalitate, avem a = 5x.

Un alt exemplu este următorul: dacă "m" împarte "n" și, de asemenea, "n" împarte "m", atunci trebuie să fie m = n.

De fapt, să spunem că "m" împarte "n" (sau echivalent, că "m" este un divizor al "n") înseamnă că diviziunea m nu este exactă; adică prin divizarea lui "m" cu "n" primiți un număr întreg, nu un număr zecimal. Acest lucru poate fi exprimat prin a spune că există un întreg "k" astfel încât m = k × n.

Din moment ce "n" împarte și "m", atunci există un întreg "p" astfel încât n = p × m. Pentru proprietatea de substituție, avem n = p × k × n, iar pentru aceasta se întâmplă două posibilități: n = 0, caz în care avem identitatea 0 = 0; op × k = 1, unde identitatea n = n ar trebui să fie.

Să presupunem că "n" este non-zero. Apoi, neapărat p × k = 1; prin urmare, p = 1 și k = 1. Folosind din nou proprietatea de substituție, atunci când înlocuim k = 1 în egalitatea m = k × n (sau echivalent, p = 1 în n = p × m), se obține în final m = n, ceea ce a fost dorit să fie demonstrat.

Proprietatea puterii într-o egalitate

După cum sa observat anterior, dacă o operație se face ca sumă, înmulțire, scădere sau divizare în ambele termeni de egalitate, ea este păstrată, în același fel în care pot fi aplicate și alte operațiuni care nu modifică o egalitate.

Cheia este de a face întotdeauna de ambele părți ale egalității și de a vă asigura în avans că operațiunea poate fi efectuată. Acesta este cazul împuternicirii; adică dacă ambele părți ale unei ecuații sunt ridicate la aceeași putere, ea are încă o egalitate.

De exemplu, ca 3 = 3, apoi 32 = 32 (9 = 9). În general, având un întreg "n", dacă x = y, atunci xn = yn.

Proprietatea rădăcinii într-o egalitate

Acesta este un caz particular de potențare și se aplică atunci când puterea este un număr rațional ne-integer, cum ar fi ½, care reprezintă rădăcina pătrată. Această proprietate afirmă că, dacă aceeași rădăcină este aplicată pe ambele părți ale egalității (atâta timp cât este posibil să se facă acest lucru), egalitatea este păstrată.

Spre deosebire de cazul anterior, aici trebuie să fii atent cu paritatea rădăcinii care trebuie aplicată, deoarece este bine cunoscut faptul că perechea de rădăcini a unui număr negativ nu este bine definită.

În cazul în care radicalul este echitabil, nu există nici o problemă. De exemplu, dacă x3 = -8, chiar dacă este o egalitate, nu puteți aplica o rădăcină pătrată de ambele părți, de exemplu. Cu toate acestea, dacă puteți aplica o rădăcină cubică (care este chiar mai convenabilă dacă doriți să cunoașteți în mod explicit valoarea lui x), obținând acea valoare x = -2.