Interpolarea liniară: metoda, exerciții rezolvate
Interpolarea liniară este o metodă care provine din interpolarea generală a lui Newton și permite să determine prin aproximație o valoare necunoscută care se află între două numere date; că este, există o valoare intermediară. De asemenea, se aplică funcțiilor aproximative, unde valorile f (a) și f (b) sunt cunoscute și dorim să cunoaștem intermediarul f (x) .
Există diferite tipuri de interpolare, cum ar fi gradele liniare, patrate, cubice și superioare, cea mai simplă fiind aproximarea liniară. Prețul care trebuie plătit cu interpolare liniară este că rezultatul nu va fi la fel de precis ca și în cazul aproximărilor prin funcții de grade mai mari.
definiție
Interpolarea liniară este un proces care vă permite să deduceți o valoare între două valori bine definite, care pot fi într-un tabel sau într-un grafic liniar.
De exemplu, dacă știți că 3 litri de lapte sunt în valoare de 4 dolari și 5 litri sunt în valoare de 7 dolari, dar doriți să aflați ce este de 4 litri de lapte, interpolați pentru a determina valoarea intermediară.
metodă
Pentru a estima o valoare intermediară a unei funcții, funcția f (x) este aproximată de o linie r (x), ceea ce înseamnă că funcția variază liniar cu "x" pentru o întindere "x = a" și " b »; adică, pentru o valoare "x" în intervalul (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), valoarea "y" este dată de linia dintre puncte și este exprimată prin următoarea relație:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Pentru ca o interpolare să fie liniară, este necesar ca polinomul de interpolare să fie de gradul unu (n = 1), astfel încât să se ajusteze la valorile lui x 0 și x 1.
Interpolarea liniară se bazează pe similitudinea triunghiurilor, astfel încât, obținând din punct de vedere geometric expresia anterioară, putem obține valoarea lui «y», care reprezintă valoarea necunoscută pentru «x».
În acest fel trebuie să:
a = tan Ń = (partea opusă 1 ÷ partea adiacentă 1 ) = (partea opusă 2 ÷ partea adiacentă 2 )
Exprimat într-un alt mod, este:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Prin ștergerea "și" a expresiilor, aveți:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Astfel, obținem ecuația generală pentru interpolarea liniară:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
În general, interpolarea liniară oferă o eroare mică asupra valorii reale a funcției adevărate, deși eroarea este minimă în comparație cu dacă alegeți intuitiv un număr apropiat de cel pe care doriți să îl găsiți.
Această eroare apare când încercați să aproximați valoarea unei curbe cu o linie dreaptă; pentru aceste cazuri dimensiunea intervalului trebuie redusă pentru a face abordarea mai precisă.
Pentru rezultate mai bune în ceea ce privește abordarea, se recomandă utilizarea funcțiilor de grad 2, 3 sau chiar mai mari pentru a efectua interpolarea. Pentru aceste cazuri teorema lui Taylor este un instrument foarte util.
Exerciții rezolvate
Exercițiul 1
Numărul de bacterii pe unitate de volum existente într-o incubație după x ore este prezentat în tabelul următor. Vrei să știi care este volumul de bacterii timp de 3, 5 ore.
soluție
Tabela de referință nu stabilește o valoare care să indice cantitatea de bacterii pentru un timp de 3, 5 ore, dar să aibă valori mai mari și mai mici, corespunzătoare unui timp de 3 și respectiv 4 ore. În acest fel:
x 0 = 3 și 0 = 91
x = 3, 5 y =?
x 1 = 4 și 1 = 135
Acum, ecuația matematică este aplicată pentru a găsi valoarea interpolată, care este următoarea:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Apoi se înlocuiesc valorile corespunzătoare:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0, 5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0, 5
y = 113
Astfel, se obține că pentru o perioadă de 3, 5 ore, cantitatea de bacterii este de 113, ceea ce reprezintă un nivel intermediar între volumul de bacterii existente în timp de 3 și 4 ore.
Exercițiul 2
Luis are o fabrică de înghețată și dorește să facă un studiu pentru a determina venitul pe care la avut în luna august din cheltuielile efectuate. Managerul companiei face un grafic care exprimă această relație, dar Luis vrea să știe:
Care sunt veniturile pentru luna august, dacă a fost făcută o cheltuială de 55.000 de dolari?
soluție
Se prezintă un grafic cu valorile veniturilor și cheltuielilor. Luis vrea să știe ce înseamnă venitul din august dacă fabrica avea o cheltuială de 55.000 de dolari. Această valoare nu este reflectată direct în grafic, dar valori mai mari și mai mici decât acestea sunt disponibile.
Mai întâi se face un tabel în care să se raporteze valorile cu ușurință:
Acum, formula de interpolare este folosită pentru a determina valoarea y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Apoi se înlocuiesc valorile corespunzătoare:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0, 588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 $.
Dacă o cheltuială de 55.000 $ a fost făcută în august, venitul a fost de 68.936 $.
