Povestiri ale teoriei lui Milet: În primul rând, al doilea și exemple

Prima și a doua teoremă a Tales of Miletus se bazează pe determinarea triunghiurilor de la alte teoreme asemănătoare (prima teorema) sau circumferințe (teorema a doua). Ele au fost foarte utile în diferite domenii. De exemplu, prima teoremă sa dovedit a fi foarte utilă pentru măsurarea structurilor mari atunci când nu exista instrumente sofisticate de măsurare.

Thales of Miletus a fost un matematician grec care a contribuit cu mare contribuție la geometrie, dintre care aceste două teoreme se remarcă (în unele texte îl scriu și ca Thales) și aplicațiile lor utile. Aceste rezultate au fost folosite pe parcursul istoriei și au permis rezolvarea unei mari varietăți de probleme geometrice.

Prima teoremă a Tales

Prima teoremă a Tales este un instrument foarte util care, printre altele, permite construirea unui triunghi asemănător cu altul, cunoscut anterior. Din aceasta sunt derivate diferite variante ale teoremei care pot fi aplicate în mai multe contexte.

Înainte de a vă da declarația, amintiți-vă câteva noțiuni de similitudine a triunghiurilor. În esență, două triunghiuri sunt similare în cazul în care unghiurile lor sunt congruente (au aceeași măsură). Acest lucru dă naștere faptului că, dacă două triunghiuri sunt similare, părțile lor (sau homologii) corespunzătoare sunt proporționale.

Prima teoremă a lui Thales afirmă că dacă într-un triunghi dat o linie dreaptă este trasată paralelă cu oricare dintre laturile sale, noul triunghi obținut va fi similar cu triunghiul inițial.

Veți obține, de asemenea, o relație între unghiurile care se formează, după cum se vede în figura următoare.

cerere

Printre aplicațiile sale multiple se numără unul de interes deosebit și are de-a face cu unul dintre modurile în care s-au făcut măsurători ale structurilor mari din antichitate, timp în care trăia Thales și în care nu erau disponibile dispozitivele moderne de măsurare. Acum există.

Se spune că așa Thales a reușit să măsoare cea mai înaltă piramidă din Egipt, Cheops. Pentru aceasta, Thales presupunea că reflexiile razelor solare au atins pământul, formând linii paralele. Sub această ipoteză, el a lipit un vârf sau trestie verticală în pământ.

Apoi a folosit asemănarea celor două triunghiuri rezultate, una formată de lungimea umbrei piramidei (care poate fi ușor calculată) și înălțimea piramidei (necunoscutul), iar cealaltă formată de lungimile umbrei și înălțimea tijei (care poate fi, de asemenea, ușor de calculat).

Folosind proporționalitatea dintre aceste lungimi, puteți șterge și cunoaște înălțimea piramidei.

Deși această metodă de măsurare poate da o eroare semnificativă de aproximare în ceea ce privește precizia înălțimii și depinde de paralelismul razele solare (care, la rândul său, depinde de un timp precis), trebuie să recunoaștem că este o idee foarte inteligentă și care a oferit o bună alternativă de măsurare pentru timp.

Exemple

Găsiți valoarea lui x în fiecare caz:

soluție

Aici avem două linii tăiate în două linii paralele. Prin prima Teoremă a lui Thales se înțelege că părțile lor respective sunt proporționale. În special:

soluție

Aici avem două triunghiuri, una dintre acestea formată de un segment paralel cu una dintre laturile celeilalte (tocmai partea laterală a lungimii x). Prin prima teoremă a Tales trebuie să:

A doua teoremă a poveștilor

A doua teorema a lui Thales determină un triunghi drept înscris pe o circumferință în fiecare punct al aceluiași.

Un triunghi inscripționat pe o circumferință este un triunghi al cărui vârfuri sunt pe circumferință, fiind astfel cuprins în aceasta.

Mai precis, a doua teorema a lui Thales precizează următoarele: având un cerc de centru O și diametru AC, fiecare punct B al circumferinței (altul decât A și C) determină un triunghi drept ABC, cu unghi drept

Ca o justificare, rețineți că ambele OA și OB și OC corespund razei circumferinței; prin urmare, măsurătorile lor sunt aceleași. De acolo se obtine ca triunghiurile OAB si OCB sunt isoscele, unde

Se știe că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 °. Folosind acest lucru cu triunghiul ABC trebuie:

2b + 2a = 180º.

În mod echivalent, avem b + a = 90º și b + a =

Rețineți că triunghiul drept furnizat de teorema a doua a lui Thales este tocmai a cărui ipoteuză este egală cu diametrul circumferinței. Prin urmare, este complet determinată de semicercul care conține punctele triunghiului; în acest caz, semicercul superior.

Rețineți, de asemenea, că în triunghiul drept obținut prin teorema a doua a lui Thales, hypotenusa este împărțită în două părți egale de OA și OC (raza). La rândul său, această măsură este egală cu segmentul OB (și raza), care corespunde mediei triunghiului ABC de către B.

Cu alte cuvinte, lungimea mediană a triunghiului drept ABC care corespunde vârfului B este determinată complet de jumătatea ipotezei. Amintiți-vă că mediana unui triunghi este segmentul de la unul dintre vârfuri până la mijlocul părții opuse; în acest caz, segmentul BO.

Circumferința circumscripționată

Un alt mod de a vedea a doua teorema lui Thales este printr-un cerc circumscris unui triunghi drept.

În general, un cerc circumscris unui poligon constă în circumferința care trece prin fiecare dintre vârfurile sale, ori de câte ori este posibil să se urmărească.

Folosind a doua teorema a lui Thales, dat un triunghi drept, putem construi intotdeauna un cerc circumscris acestui lucru, cu o raza egala cu jumatate din hypotenuse si circumcenter (centrul circumferintei) egal cu punctul mijlociu al hypotenusei.

cerere

O aplicație foarte importantă a teoremei secundare Thales, și poate cea mai utilizată, este de a găsi liniile tangente la o circumferință dată, de un punct P extern (cunoscut).

Observați că având o circumferință (trasă în albastru în figura de mai jos) și un punct exterior P, există două linii tangente la circumferința care trece prin P. Fie T și T 'punctele de tangență, r raza circumferinței și Sau centrul.

Se știe că segmentul care merge de la centrul unui cerc până la un punct de tangență al acestuia este perpendicular pe această linie tangentă. Apoi, unghiul OTP este drept.

Din ceea ce am văzut mai devreme în prima teoremă despre Thales și versiunile sale diferite, vedem că este posibil să inscripționăm triunghiul OTP într-o altă circumferință (în roșu).

În mod analog, se obține că triunghiul OT'P poate fi inscripționat în aceeași circumferință anterioară.

Prin a doua teorema a lui Thales se obtine si faptul ca diametrul acestei noi circumferinte este tocmai ipoteza triunghiului OTP (care este egal cu hypotenusa triunghiului OT'P), iar centrul este punctul central al acestei hypotenuse.

Pentru a calcula centrul circumferinței noi este suficient să se calculeze punctul de mijloc dintre centrul - să zicem M - al circumferinței inițiale (pe care deja o știm) și punctul P (pe care de asemenea știm). Apoi, raza va fi distanța dintre acest punct M și P.

Cu raza și centrul cercului roșu găsim ecuația carteziană, pe care ne-o amintim dă-o (xh) 2 + (yk) 2 = c2, unde c este raza și punctul (h, k) centrul circumferinței.

Cunoscând acum ecuațiile ambelor circumferințe, le putem intersecta prin rezolvarea sistemului de ecuații formate de acestea, obținând astfel punctele de tangență T și T '. În cele din urmă, pentru a cunoaște liniile tangente dorite, este suficient să găsim ecuația liniilor care trec prin T și P și prin T 'și P.

exemplu

Luați în considerare o circumferință a diametrului AC, centrul O și o rază de 1 cm. Fie B un punct pe circumferință astfel încât AB = AC. Cât măsoară AB?

soluție

Prin a doua teorema a lui Thales avem ca triunghiul ABC este un dreptunghi, iar hypotenuse corespunde diametrului, care in acest caz masoara 2 cm (raza este de 1 cm). Apoi, prin teorema lui Pythagorean trebuie: