Teorema lui Bolzano: explicații, aplicații și exerciții rezolvate
Teorema lui Bolzano afirmă că dacă o funcție este continuă în toate punctele unui interval închis [a, b] și este mulțumită că imaginea "a" și "b" (sub funcție) are semne opuse, atunci ea va exista pentru cel puțin un punct «c» în intervalul deschis (a, b), astfel încât funcția evaluată în «c» să fie egală cu 0.
Această teoremă a fost enunțată de filosoful, teologul și matematicianul Bernard Bolzano în 1850. Acest om de știință, născut în Republica Cehă de astăzi, a fost unul dintre primii matematicieni din istorie pentru a face o demonstrație formală a proprietăților funcțiilor continue.
explicație
Teorema lui Bolzano este cunoscută și ca teorema valorilor intermediare, care ajută la determinarea unor valori specifice, în special a zerourilor, a anumitor funcții reale ale unei variabile reale.
Într-o funcție dată f (x) continuă - adică f (a) și f (b) sunt conectate printr-o curbă -, unde f (a) este sub axa x (este negativă) deasupra axei x (este pozitiv) sau invers, grafic va exista un punct de tăiere pe axa x care va reprezenta o valoare intermediară «c», care va fi între «a» și «b», iar valoarea f (c) va fi egal cu 0
Analizând grafic teorema lui Bolzano, știm că pentru fiecare funcție f continuă definită într-un interval [a, b], unde f (a) * f (b) este mai mic decât 0, va exista cel puțin o rădăcină «c »Din această funcție în intervalul (a, b).
Această teoremă nu stabilește numărul de puncte existente în intervalul deschis, afirmând doar că există cel puțin un punct.
spectacol
Pentru a demonstra teorema lui Bolzano, se presupune fără pierderea generalității faptul că f (a) 0; în acest fel, pot exista mai multe valori între "a" și "b" pentru care f (x) = 0, dar trebuie să se arate că există doar o singură valoare.
Începeți prin evaluarea f la mijloc (a + b) / 2. Dacă f ((a + b) / 2) = 0 atunci testul se termină aici; altfel, atunci f ((a + b) / 2) este pozitivă sau negativă.
Unul dintre jumătățile intervalului [a, b] este ales, astfel încât semnele funcției evaluate la capete sunt diferite. Acest nou interval va fi [a1, b1].
Acum, dacă f evaluată la punctul central al lui [a1, b1] nu este zero, atunci se efectuează aceeași operație ca înainte; adică o jumătate din acest interval care îndeplinește condiția semnelor este ales. Permiteți acestui nou interval să fie [a2, b2].
Dacă acest proces este continuat, atunci vor fi luate două succesiuni {an} și {bn}, astfel încât:
{an} crește și {bn} scade:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ un ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Dacă calculați lungimea fiecărui interval [ai, bi], va trebui să:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2 2.
....
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Prin urmare, limita atunci când n tinde la infinit de (bn-an) este egală cu 0.
Folosind că {an} este în creștere și mărginit și {bn} este descrescătoare și mărginită, există o valoare "c" astfel:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ un ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Limita lui a este "c", iar limita {bn} este, de asemenea, "c". Prin urmare, având oricare δ> 0, există întotdeauna un "n" astfel încât intervalul [an, bn] să fie cuprins în intervalul (c-δ, c + δ).
Acum, trebuie să se arate că f (c) = 0.
Dacă f (c)> 0, atunci f este continuă, există o ε> 0 astfel încât f este pozitivă pe tot intervalul (c-ε, c + ε). Cu toate acestea, așa cum sa menționat mai sus, există o valoare "n" astfel încât f modifică semnul [an, bn] și, în plus, [an, bn] este conținut în (c-ε, care este o contradicție.
Dacă f (c) 0 astfel încât f este negativ pe tot intervalul (c-ε, c + ε); dar există o valoare "n" astfel încât f să schimbe semnul [an, bn]. Se pare că [a, bn] este conținut în (c-ε, c + ε), care este, de asemenea, o contradicție.
Prin urmare, f (c) = 0 și asta am vrut să demonstrăm.
Pentru ce este?
Din interpretarea sa grafică, teoria lui Bolzano este folosită pentru a găsi rădăcini sau zerouri într-o funcție continuă, prin bisecția (aproximație), care este o metodă de căutare incrementală care întotdeauna împarte intervalele în 2.
Apoi luați un interval [a, c] sau [c, b] unde apare schimbarea semnului și repetați procesul până când intervalul este mai mic și mai mic, astfel încât să puteți apropia valoarea dorită; adică valoarea pe care funcția o face 0.
În concluzie, pentru a aplica teorema lui Bolzano și a găsi astfel rădăcinile, a delimita zerourile unei funcții sau a da soluții unei ecuații, se realizează următoarele etape:
- Verificați dacă f este o funcție continuă în intervalul [a, b].
- Dacă intervalul nu este dat, trebuie să găsim unde funcția este continuă.
- Verificați dacă extremele intervalului dau semne opuse când este evaluat în f.
- Dacă nu se obțin semne opuse, intervalul trebuie împărțit în două subintervențe folosind punctul intermediar.
- Evaluați funcția la mijloc și verificați dacă ipoteza Bolzano este îndeplinită, unde f (a) * f (b) <0.
- În funcție de semnul (pozitiv sau negativ) al valorii găsite, procesul se repetă cu un nou subinterval până când ipoteza menționată mai sus este îndeplinită.
Exerciții rezolvate
Exercițiul 1
Determinați dacă funcția f (x) = x2 - 2 are cel puțin o soluție reală în intervalul [1, 2].
soluție
Avem funcția f (x) = x2 - 2. Deoarece este polinom, înseamnă că este continuă în orice interval.
Vi se cere să determinați dacă aveți o soluție reală în intervalul [1, 2], deci acum trebuie să înlocuiți doar extremele intervalului din funcție pentru a cunoaște semnul acestora și să știți dacă îndeplinesc condiția de a fi diferit:
f (x) = x2 - 2
f (1) = 12 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 22 - 2 = 2 (pozitiv)
Prin urmare, semnul f (1) ≠ semn f (2).
Aceasta asigură că există cel puțin un punct "c" care aparține intervalului [1, 2], unde f (c) = 0.
În acest caz, valoarea "c" poate fi ușor calculată după cum urmează:
x2 - 2 = 0
x = ± √2.
Astfel, √2 ≈ 1.4 aparține intervalului [1, 2] și satisface faptul că f (√2) = 0.
Exercițiul 2
Arătați că ecuația x5 + x + 1 = 0 are cel puțin o soluție reală.
soluție
În primul rând, f (x) = x5 + x + 1 este o funcție polinomială, ceea ce înseamnă că este continuă în toate numerele reale.
În acest caz, nu este dat nici un interval, deci valorile ar trebui să fie alese intuitiv, de preferință aproape de 0, pentru a evalua funcția și pentru a găsi schimbarea semnului:
Dacă utilizați intervalul [0, 1], trebuie să:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Deoarece nu există schimbare de semn, procesul se repetă cu un alt interval.
Dacă utilizați intervalul [-1, 0] trebuie să:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
În acest interval există o schimbare a semnului: semnul f (-1) ≠ semnul f (0), ceea ce înseamnă că funcția f (x) = x5 + x + 1 are cel puțin o rădăcină reală "c" intervalul [-1, 0], astfel încât f (c) = 0. Cu alte cuvinte, este adevărat că x5 + x + 1 = 0 are o soluție reală în intervalul [-1, 0].
