Teorema lui Chebyshov: în ce consta, aplicații și exemple

Teorema lui Chebyșov (sau inegalitatea lui Chebyșov ) este unul dintre cele mai importante rezultate clasice ale teoriei probabilității. Aceasta permite estimarea probabilității unui eveniment descris în termenii unei variabile aleatoare X, oferindu-ne o dimensiune care nu depinde de distribuția variabilei aleatoare, ci de varianța lui X.

Teorema este numită în onoarea matematicianului rus Pafnuty Chebyșov (scris și ca Chebychev sau Tchebycheff) care, în ciuda faptului că nu a fost primul care a enunțat această teoremă, a fost primul care a dat o demonstrație în anul 1867.

Această inegalitate sau cele care prin caracteristicile lor sunt numite inegalități Chebyshov, sunt folosite în principal pentru a aproxima probabilitățile prin calculul dimensiunilor.

Din ce constă?

În studiul teoriei probabilității se întâmplă ca dacă cunoaștem funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, putem calcula valoarea așteptată E (X) - și varianța ei Var (X), atâta timp cât sumele menționate există. Cu toate acestea, reciprocitatea nu este neapărat adevărată.

Așadar, cunoscând E (X) și Var (X) nu este neapărat posibilă obținerea funcției de distribuție a lui X, astfel încât cantități precum P (| X |> k) pentru unele k> 0 sunt foarte dificil de obținut. Dar datorită inegalității lui Chebyshov este posibil să se estimeze probabilitatea variabilei aleatoare.

Teorema lui Chebyshov ne spune că dacă avem o variabilă aleatoare X pe un spațiu de probă S cu o funcție de probabilitate p și dacă k> 0, atunci:

Aplicații și exemple

Dintre numeroasele aplicații pe care Teorema lui Chebyșov le posedă, se pot menționa următoarele:

Legarea probabilităților

Aceasta este cea mai obișnuită aplicație și este folosită pentru a da o limită superioară pentru P (| XE (X) | ≥k) unde k> 0, numai cu variația și așteptarea variabilei aleatoare X, fără a cunoaște funcția de probabilitate .

Exemplul 1

Să presupunem că numărul de produse fabricate într-o companie într-o săptămână este o variabilă aleatorie cu o medie de 50.

Dacă știm că varianța unei săptămâni de producție este egală cu 25, atunci ce putem spune despre probabilitatea ca în această săptămână producția să difere cu mai mult de 10 de media?

soluție

Aplicând inegalitatea Chebyșovului trebuie să:

Din aceasta putem obtine ca probabilitatea ca in saptamana de productie numarul de articole sa depaseasca mai mult de 10 la media este de cel mult 1/4.

Demonstrarea teoremelor limită

Inegalitatea Chebyșovului joacă un rol important în demonstrarea celor mai importante teoreme ale limitelor. De exemplu, avem următoarele:

Legea slabă a unui număr mare

Această lege stabilește că, dată fiind o secvență X1, X2, ..., Xn, ... variabilelor aleatorii independente cu aceeași distribuție medie E (Xi) = μ și varianța Var (X) = σ2 și o probă medie cunoscută de:

Apoi pentru k> 0 trebuie să:

Sau, în mod echivalent:

spectacol

Mai întâi, observați următoarele:

Deoarece X1, X2, ..., Xn sunt independente, rezultă că:

Prin urmare, este posibil să se afirme următoarele:

Apoi, folosind teorema lui Chebyshov, trebuie:

În cele din urmă, teorema rezultă din faptul că limita din dreapta este zero când n tinde spre infinit.

Trebuie remarcat faptul că acest test a fost făcut numai pentru cazul în care există varianța lui Xi; adică nu se deosebește. Astfel observăm că teorema este întotdeauna adevărată dacă E (Xi) există.

Chestiunea limitei lui Chebyshov

Dacă X1, X2, ..., Xn, ... este o succesiune de variabile aleatoare independente, astfel încât există o anumită C0:

spectacol

Deoarece succesiunea variațiilor este limitată uniform, avem Var (Sn) ≤ C / n, pentru toate n natural. Dar știm că:

Făcând n tendința către infinit, următoarele rezultate:

Deoarece o probabilitate nu poate depăși valoarea de 1, se obține rezultatul dorit. Ca o consecință a acestei teoreme am putea menționa cazul special al lui Bernoulli.

Dacă un experiment este repetat n ori independent cu două rezultate posibile (eșec și succes), unde p este probabilitatea succesului în fiecare experiment și X este variabila aleatoare reprezentând numărul de succese obținute, atunci pentru fiecare k> 0 trebuie să:

Mărimea eșantionului

Din punctul de vedere al varianței, inegalitatea lui Chebyshov ne permite să găsim o mărime a eșantionului n care este suficientă pentru a garanta că probabilitatea ca Sn-μ |> = k are loc este la fel de mică ca dorința, ceea ce ne permite să avem o aproximație la media.

Exact, X1, X2, ... Xn să fie o probă de variabile aleatoare independente de mărime n și să permită E (Xi) = μ și varianța lui σ2. Apoi, din cauza inegalității lui Chebyșov, trebuie:

exemplu

Să presupunem că X1, X2, ... Xn sunt o probă de variabile aleatoare independente cu distribuția Bernoulli, astfel încât să ia valoarea 1 cu probabilitatea p = 0, 5.

Care ar trebui să fie dimensiunea eșantionului pentru a garanta că probabilitatea ca diferența dintre media aritmetică Sn și valoarea sa așteptată (care depășește mai mult de 0, 1) să fie mai mică sau egală cu 0, 01?

soluție

Avem că E (X) = μ = p = 0, 5 și că Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0, 25. Pentru inegalitatea lui Chebyșov, pentru orice k> 0 trebuie să:

Acum, luând k = 0, 1 și δ = 0, 01, trebuie să:

În acest fel se concluzionează că o dimensiune a eșantionului de cel puțin 2500 este necesară pentru a se asigura că probabilitatea evenimentului | Sn - 0, 5 |> = 0, 1 este mai mică de 0, 01.

Inegalitățile de tip Chebyșov

Există diverse inegalități legate de inegalitatea Chebyșovului. Una dintre cele mai cunoscute este inegalitatea Markov:

În această expresie X este o variabilă aleatoare non-negativă cu k, r> 0.

Inegalitatea Markov poate lua forme diferite. De exemplu, permiteți Y să fie o variabilă aleatoare non-negativă (deci P (Y> = 0) = 1) și să presupunem că E (Y) = μ există. Să presupunem de asemenea că (E (Y)) r = μ _r există pentru un număr întreg r> 1. atunci: