Adaugarea aditivilor: aplicatii, partitii, grafica

Descompunerea aditivului unui întreg pozitiv este exprimată ca o sumă de două sau mai multe numere întregi pozitive. Astfel, numărul 5 poate fi exprimat ca 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 sau 5 = 1 + 2 + 2. Fiecare dintre aceste moduri de a scrie numărul 5 este ceea ce vom numi descompunere aditivă.

Dacă ne acordăm atenție, putem observa că expresiile 5 = 2 + 3 și 5 = 3 + 2 reprezintă aceeași compoziție; ambele au aceleași numere. Cu toate acestea, din motive de conveniență, fiecare dintre addende este, de obicei, scris în funcție de criteriul de la cel mai mic la cel mai mare.

Descompunere aditiv

Ca un alt exemplu putem lua numărul 27, pe care îl putem exprima ca:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Descompunerea aditivului este un instrument foarte util care ne permite să ne consolidăm cunoștințele despre sistemele de numerotare.

Aditivarea descompunerii canonice

Când avem mai mult de două cifre, o modalitate particulară de descompunere a acestora este în multiplii de 10, 100, 1000, 10 000 etc., care o fac. Acest mod de a scrie orice număr se numește descompunere canonică a aditivilor. De exemplu, numărul 1456 poate fi defalcat după cum urmează:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Dacă avem numărul 20 846 295, descompunerea canonică a aditivului va fi:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6.000 + 200 + 90 +5.

Datorită acestei descompuneri, putem vedea că valoarea unei cifre date este dată de poziția pe care o ocupă. Luați numerele 24 și 42 ca exemplu:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Aici putem observa că în 24 numărul 2 are o valoare de 20 de unități, iar valoarea 4 este de 4 unități; pe de altă parte, în 42 cele 4 au o valoare de 40 de unități și cele două din două unități. Astfel, deși ambele numere utilizează aceleași cifre, valorile lor sunt complet diferite de poziția pe care o ocupă.

aplicații

Una dintre aplicațiile pe care le putem da descompunerii aditivilor este în anumite tipuri de demonstrații, în care este foarte util să vedem un număr întreg pozitiv ca sumă a altora.

Exemplu de teoremă

Să luăm ca exemplu următoarea teoremă cu demonstrațiile sale respective.

- Fie Z un număr întreg de patru cifre, atunci Z este divizibil cu 5 dacă numărul său corespunzător unităților este zero sau cinci.

spectacol

Amintiți-vă ce este divizibilitatea. Dacă avem numere "a" și "b", spunem că "a" împarte "b" dacă există un întreg "c" astfel încât b = a * c.

Una dintre proprietățile divizibilității ne spune că dacă "a" și "b" sunt divizibile prin "c", atunci scăderea "ab" este, de asemenea, divizibilă prin "c".

Fie Z un număr întreg de patru cifre; prin urmare, putem scrie Z ca Z = ABCD.

Folosind descompunerea canonică a aditivului avem următoarele:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Este clar că A * 1000 + B * 100 + C * 10 este divizibil cu 5. Pentru aceasta, Z este divizibil cu 5 dacă Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) este divizibil cu 5.

Dar Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D și D este un număr de o singură cifră, astfel încât singura cale prin care este divizibilă cu 5 este că este 0 sau 5.

Prin urmare, Z este divizibil cu 5 dacă D = 0 sau D = 5.

Rețineți că dacă Z are n cifre, dovada este exact aceeași, modifică doar faptul că am scrie acum Z = A ₁ A ₂ ... A _n și obiectivul ar fi să dovedească că A _n este zero sau cinci.

partiții

Spunem că o partiție a unui întreg pozitiv este o modalitate prin care putem scrie un număr ca sumă de numere întregi pozitive.

Diferența dintre o descompunere aditivă și o partiție este că, în timp ce în prima se dorește ca ea să poată fi cel puțin descompusă în două sau mai multe addende, în partiție nu există o astfel de restricție.

Deci, avem urmatoarele:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Cele de mai sus sunt partiții de 5.

Asta este, avem ca toate descompunerea aditivilor este o partiție, dar nu fiecare partiție este în mod necesar o descompunere aditivă.

În teoria numerelor, teorema fundamentală a aritmeticii garantează că fiecare număr întreg poate fi scris în mod unic ca produs al primelor.

Când studiați partițiile, obiectivul este de a determina câte moduri puteți scrie un număr întreg pozitiv ca sumă a altor numere întregi. Prin urmare, definim funcția de partiție prezentată mai jos.

definiție

Funcția de partiție p (n) este definită ca număr de moduri în care un întreg pozitiv n poate fi scris ca o sumă de numere întregi pozitive.

Revenind la exemplul din 5, trebuie:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

În acest fel, p (5) = 7.

grafic

Atât partițiile cât și descompunerea aditivilor unui număr n pot fi reprezentate geometric. Să presupunem că avem o descompunere aditivă a n. În această descompunere, addendele pot fi aranjate astfel încât membrii sumelor să fie ordonați de la cel mai mic la cel mai înalt. Apoi, merită:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + ... + a _r cu

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ ... ≤ a _r .

Putem descrie o astfel de descompunere în următorul mod: într-un prim rând se marchează punctele _1-, apoi în următoarea se marchează ₂ puncte, și așa mai departe, până când ajungem la aa _r .

Luați numărul 23 și următoarea sa descompunere ca exemplu:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ordonăm această descompunere și avem:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

Graficul său corespunzător ar fi:

De asemenea, dacă citim graficul menționat vertical în loc de orizontal, putem obține o descompunere care poate fi diferită de cea anterioară. În exemplul din 23 se evidențiază următoarele: