Care sunt ecuațiile simultane? (cu exerciții rezolvate)

Ecuațiile simultane sunt acele ecuații care trebuie îndeplinite în același timp. Prin urmare, pentru a avea ecuații simultane, trebuie să avem mai multe ecuații.

Când aveți două sau mai multe ecuații diferite, care trebuie să aibă aceeași soluție (sau aceleași soluții), spuneți că aveți un sistem de ecuații sau spuneți că aveți ecuații simultane.

Când aveți ecuații simultane, se poate întâmpla ca aceștia să nu aibă soluții comune, să aibă o cantitate finită sau să aibă o cantitate infinită.

Ecuații simultane

Având în vedere două ecuații diferite Eq1 și Eq2, avem că sistemul acestor două ecuații se numește ecuații simultane.

Ecuațiile simultane îndeplinesc faptul că dacă S este o soluție de Eq1 atunci S este de asemenea o soluție de Eq2 și invers

caracteristici

Când vine vorba de un sistem de ecuații simultane, puteți avea 2 ecuații, 3 ecuații sau N ecuații.

Cele mai comune metode utilizate pentru a rezolva ecuațiile simultane sunt: substituirea, egalizarea și reducerea. Există și o altă metodă numită regula lui Cramer, care este foarte utilă pentru sistemele cu mai mult de două ecuații simultane.

Un exemplu de ecuații simultane este sistemul

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Se poate observa că x = 0, y = 2 este o soluție de Eq1 dar nu este o soluție a Eq2.

Singura soluție comună pe care ambele ecuații o are este x = 1, y = 1. Aceasta este, x = 1, y = 1 este soluția sistemului de ecuații simultane.

Exerciții rezolvate

Apoi continuați să rezolvați sistemul de ecuații simultane prezentate mai sus, prin cele 3 metode menționate.

Primul exercițiu

Rezolvați sistemul de ecuații Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 utilizând metoda substituției.

soluție

Metoda de substituție constă în eliminarea uneia dintre cele necunoscute ale uneia dintre ecuații și apoi înlocuirea acesteia în cealaltă ecuație. În acest caz, puteți șterge "y" de la Eq1 și veți obține că y = 2-x.

Înlocuind această valoare a lui «y» în Eq2, se obține că 2x- (2-x) = 1. Prin urmare, obținem că 3x-2 = 1, adică x = 1.

Apoi, din moment ce valoarea lui x este cunoscută, este substituită în "y" și y = 2-1 = 1.

Prin urmare, singura soluție a sistemului de ecuații simultane Eq1 și Eq2 este x = 1, y = 1.

Al doilea exercițiu

Rezolvați sistemul de ecuații Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 utilizând metoda de egalizare.

soluție

Metoda de egalizare constă în eliminarea aceleiași întrebări din ambele ecuații și apoi egalizarea ecuațiilor rezultate.

Se elimină "x" din ambele ecuații, obținem că x = 2-y și că x = (1 + y) / 2. Acum, aceste două ecuații sunt egale și obținem că 2-y = (1 + y) / 2, unde se dovedește că 4-2y = 1 + y.

Gruparea necunoscutului "y" pe aceeași parte are ca rezultat y = 1. Acum, când știm "și", continuăm să găsim valoarea "x". Înlocuind y = 1, obținem că x = 2-1 = 1.

Prin urmare, soluția comună dintre ecuațiile Eq1 și Eq2 este x = 1, y = 1.

Al treilea exercițiu

Rezolvați sistemul de ecuații Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 folosind metoda de reducere.

soluție

Metoda de reducere constă în înmulțirea ecuațiilor date de coeficienții corespunzători, astfel încât atunci când se adaugă aceste ecuații, una dintre variabile este anulată.

În acest exemplu special, nu este nevoie să multiplicați nici o ecuație cu niciun coeficient, ci să le adăugați împreună. Cand adaugam Eq1 plus Eq2 obtinem ca 3x = 3, din care obtinem ca x = 1.

Când evaluăm x = 1 în Eq1, obținem că 1 + y = 2, de unde se dovedește că y = 1.

Prin urmare, x = 1, y = 1 este singura soluție a ecuațiilor simultane Eq1 și Eq2.

Al patrulea exercițiu

Rezolvați sistemul de ecuații simultane Eq1: 2x-3y = 8 și Eq2: 4x-3y = 12.

soluție

În acest exercițiu, nu este necesară nicio metodă specială, prin urmare se poate aplica metoda cea mai confortabilă pentru fiecare cititor.

În acest caz, se va utiliza metoda de reducere. Înmulțirea Eq1 cu -2 dă ecuația Eq3: -4x + 6y = -16. Acum, adăugând Eq3 și Eq2 dă 3y = -4, deci y = -4 / 3.

Acum, atunci când evaluăm y = -4 / 3 în Eq1 obținem că 2x-3 (-4/3) = 8, unde 2x + 4 = 8, deci x = 2.

În concluzie, singura soluție a sistemului de ecuații simultane Eq1 și Eq2 este x = 2, y = -4 / 3.