Tehnici de numărare: principalele tehnici, aplicații și exemple

Tehnicile de numărare reprezintă o serie de metode de probabilitate pentru numărarea numărului posibil de aranjamente dintr-un set sau mai multe seturi de obiecte. Acestea sunt folosite atunci când conturile devin complicate manual din cauza numărului mare de obiecte și / sau variabile.

De exemplu, soluția la această problemă este foarte simplă: imaginați-vă că șeful dvs. vă cere să numărați ultimele produse care au sosit în ultima oră. În acest caz, puteți merge și numărați produsele unul câte unul.

Cu toate acestea, imaginați-vă că problema este aceasta: șeful dvs. vă cere să numărați câte grupuri de 5 produse de același tip pot fi formate cu cei care au sosit ultima oră. În acest caz, calculul devine complicat. Pentru acest tip de situație se folosesc așa-numitele tehnici de numărare.

Aceste tehnici sunt mai multe, dar cele mai importante sunt împărțite în două principii de bază, care sunt multiplicativ și aditiv; permutări și combinații.

Principiu multiplicativ

aplicații

Principiul multiplicativ, împreună cu aditivul, sunt esențiale pentru a înțelege funcționarea tehnicilor de numărare. În cazul multiplicatorului, acesta constă în următoarele:

Imaginați-vă o activitate care implică un anumit număr de pași (totalul este marcat ca "r"), unde primul pas poate fi făcut din formele N1, al doilea pas al lui N2 și pasul "r" al formularelor Nr. În acest caz, activitatea poate fi efectuată pe baza numărului de formulare care rezultă din această operație: N1 x N2 x .......... x Număr formulare

Acesta este motivul pentru care acest principiu este numit multiplicator și implică faptul că fiecare dintre pașii necesari pentru desfășurarea activității trebuie să se desfășoare unul după altul.

exemplu

Să ne imaginăm o persoană care dorește să construiască o școală. Pentru a face acest lucru, considerați că baza clădirii poate fi construită în două moduri diferite: ciment sau beton. În ceea ce privește pereții, ele pot fi făcute din adobe, ciment sau cărămidă.

În ceea ce privește acoperișul, acesta poate fi construit din ciment sau tablă galvanizată. În cele din urmă, pictura finală se poate face numai într-un fel. Întrebarea care apare este următoarea: Câte moduri are școala să construiască?

În primul rând, considerăm numărul de pași, care ar fi baza, pereții, acoperișul și pictura. În total, 4 pași, deci r = 4.

Următoarea ar fi lista N:

N1 = moduri de a construi baza = 2

N2 = moduri de a construi pereții = 3

N3 = moduri de a face acoperiș = 2

N4 = moduri de a face vopsea = 1

Prin urmare, numărul de forme posibile ar fi calculat prin formula descrisă mai sus:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 moduri de a face școală.

Principiul aditivilor

aplicații

Acest principiu este foarte simplu și constă în faptul că, în cazul mai multor alternative existente pentru a desfășura aceeași activitate, formele posibile constau în suma diferitelor căi posibile de realizare a tuturor alternativelor.

Cu alte cuvinte, dacă vrem să realizăm o activitate cu trei alternative, unde prima alternativă se poate face în formele M, cea de-a doua în formulele N și ultima în formele W, activitatea poate fi făcută din: M + N + ......... + W forme.

exemplu

Imaginați-vă de data aceasta o persoană care dorește să cumpere o rachetă de tenis. Pentru aceasta, are trei branduri de alegere: Wilson, Babolat sau Head.

Când merge la magazin, vede că racheta Wilson poate fi cumpărată cu mânerul a două dimensiuni diferite, L2 sau L3, în patru modele diferite și poate fi strâns sau fără șnururi.

Rachetul Babolat, pe de altă parte, are trei mânere (L1, L2 și L3), există două modele diferite și poate fi și strâns sau fără șnururi.

Rachetul Head, pe de altă parte, are doar un mâner, modelul L2, în două modele diferite și numai fără șnururi. Întrebarea este: Câte moduri are această persoană să-și cumpere racheta?

M = numărul de moduri de selectare a unei rachete Wilson

N = Număr de moduri de selectare a unei rachete Babolat

W = Numărul de moduri de selectare a unei Rachete de cap

Facem principiul multiplicatorului:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formulare

N = 3 x 2 x 2 = 12 formulare

W = 1 x 2 x 1 = 2 forme

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 de moduri de a alege o rachetă.

Pentru a ști când să utilizați principiul multiplicativ și aditivul, trebuie doar să analizați dacă activitatea are o serie de pași care trebuie făcuți și, dacă există mai multe alternative, aditivul.

permutări

aplicații

Pentru a înțelege ce este o permutare, este important să explicați ce este o combinație pentru a le diferenția și a ști când să le folosiți.

O combinație ar fi un aranjament de elemente în care nu ne interesează poziția pe care fiecare o ocupă.

O permutare, pe de altă parte, ar fi un aranjament de elemente în care suntem interesați de poziția pe care o ocupă fiecare dintre ei.

Să dăm un exemplu pentru a înțelege mai bine diferența.

exemplu

Imaginați-vă o clasă cu 35 de studenți și cu următoarele situații:

1. Profesorul dorește ca trei dintre elevii săi să-l ajute să păstreze clasa curată sau să furnizeze materiale celorlalți studenți atunci când are nevoie de ea.
2. Profesorul dorește să numească delegații de clasă (un președinte, un asistent și un finanțator).

Soluția ar fi următoarea:

1. Imaginați-vă că votând pe Juan, María și Lucía sunt aleși pentru a curăța clasa sau a livra materialele. Evident, alte grupuri de trei persoane s-ar fi putut forma, printre cei 35 de posibili studenți.

Trebuie să ne punem următoarele întrebări: este important ordinea sau poziția pe care fiecare dintre elevi o ocupă în momentul selectării lor?

Dacă ne gândim la asta, vedem că într-adevăr nu este important, deoarece grupul va avea grijă de ambele sarcini în mod egal. În acest caz, este o combinație, deoarece nu ne interesează poziția elementelor.

2. Acum imaginați-vă că John este ales ca președinte, Maria ca asistent și Lucia ca fiind financiar.

În acest caz, ar însemna comanda? Răspunsul este da, deoarece dacă schimbăm elementele, rezultatul se schimbă. Adică dacă, în loc să îl punem pe Juan în calitate de președinte, l-am pus ca asistent, iar Maria ca președinte, rezultatul final s-ar schimba. În acest caz este o permutare.

Odată ce diferența este înțeleasă, vom obține formulele de permutări și combinații. Cu toate acestea, mai întâi trebuie să definim termenul "n!" (Factorial), deoarece va fi folosit în diferitele formule.

n! = produsul de la 1 la n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... .. x n

Folosindu-l cu numere reale:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

Formula permutărilor ar fi următoarea:

nPr = n! / (nr)!

Cu aceasta putem afla aranjamentele în care ordinea este importantă și unde elementele n sunt diferite.

combinaţii

aplicații

Așa cum am comentat anterior, combinațiile sunt aranjamentele în care nu ne pasă de poziția elementelor.

Formula sa este următoarea:

nCr = n! / (nr)! r!

exemplu

Dacă există 14 studenți care doresc să se angajeze voluntar pentru a curăța sala de clasă, câte grupuri de curățenie pot forma fiecare grupă de 5 persoane?

Prin urmare, soluția ar fi următoarea:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = Grupuri de 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002