Ce sunt triunghiurile oblice? (cu exerciții rezolvate)

Triunghiurile oblice sunt acele triunghiuri care nu sunt dreptunghiuri. Asta este, triunghiuri astfel încât nici unul dintre unghiurile sale nu este un unghi drept (măsurarea ei este de 90º).

Având un unghi drept, atunci teorema lui Pythagorean nu poate fi aplicată acestor triunghiuri.

Prin urmare, pentru a cunoaște datele într-un triunghi oblic, este necesar să se utilizeze alte formule.

Formulele necesare pentru a rezolva un triunghi cu unghi oblic sunt așa-numitele legi ale sinusurilor și cosinelor, care vor fi descrise ulterior.

În plus față de aceste legi, întotdeauna se poate utiliza faptul că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 °.

Oblic triunghiuri

După cum sa spus la început, un triunghi oblic este un triunghi astfel încât niciunul dintre unghiurile lui nu măsoară 90º.

Problema găsirii lungimilor laturilor unui triunghi oblic-unghiular, precum și găsirea măsurătorilor unghiurilor lor, se numește "rezoluția triunghiurilor oblice".

Un fapt important în lucrul cu triunghiurile este că suma celor trei unghiuri interne ale unui triunghi este egală cu 180 °. Acesta este un rezultat general, prin urmare, pentru triunghiurile oblice, poate fi de asemenea aplicat.

Legile sanilor și cosinelor

Având un triunghi ABC cu laturile de lungime "a", "b" și "c":

- Legea sânilor afirmă că a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), unde A, B și C sunt unghiurile opuse pentru «a», «b» și «c „respectiv.

- Legea cosinelor afirmă că: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). În mod echivalent, pot fi utilizate următoarele formule:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) sau a2 = b2 + c2 - 2bc * cos (A).

Folosind aceste formule pot fi calculate datele unui triunghi oblic-unghiular.

pregătire

Mai jos sunt câteva exerciții în care ar trebui să găsiți datele lipsă ale triunghiurilor date, din anumite date furnizate.

Primul exercițiu

Având un triunghi ABC astfel încât A = 45º, B = 60º, și a = 12cm, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

Folosind că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 °, trebuie să

C = 180º-45º-60º = 75º.

Cele trei unghiuri sunt deja cunoscute. Apoi continuați să utilizați legea sânilor pentru a calcula cele două laturi care lipsesc.

Ecuațiile care sunt reprezentate sunt 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

De la prima egalitate puteți șterge "b" și obține

b = 12 * sin (60º) / păcat (45º) = 6√6 ≈ 14, 696cm.

De asemenea, puteți șterge "c" și obțineți asta

c = 12 * sin (75º) / păcat (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Al doilea exercițiu

Având în vedere triunghiul ABC astfel încât A = 60º, C = 75º, și b = 10cm, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

Ca și în exercițiul anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. În plus, folosind legea sanilor este necesar ca a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), din care se obtine ca a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12, 247 cm și c = 10 * sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + √3) ≈ 13, 660 cm.

Al treilea exercițiu

Având în vedere triunghiul ABC astfel încât a = 10cm, b = 15cm și C = 80º, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

În acest exercițiu este cunoscut doar un unghi, deci nu puteți începe așa cum ați făcut în cele două exerciții anterioare. De asemenea, legea sânilor nu poate fi aplicată deoarece nici o ecuație nu poate fi rezolvată.

Prin urmare, vom continua să aplicăm legea cosinelor. Atunci este asta

c² = 10 ² + 15 ² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0, 173 ≈ 272, 905 cm,

astfel încât c ≈ 16, 51 cm. Acum, știind cele trei laturi, legea sânilor este folosită și veți obține

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16, 51 cm / sin (80 °).

De aici, la compensarea B rezultă fără (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, ceea ce înseamnă că B ≈ 63.38º.

Acum, se poate obține că A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Al patrulea exercițiu

Latura unui triunghi oblic este a = 5cm, b = 3cm și c = 7cm. Calculați unghiurile triunghiului.

soluție

Din nou, legea sânilor nu poate fi aplicată direct, deoarece nici o ecuație nu ar servi pentru a obține valoarea unghiurilor.

Folosind legea cosinusului, avem c² = a² + b² - 2ab cos (C), unde atunci când știm că avem cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 și prin urmare C = 120º.

Acum dacă puteți aplica legea sânilor și obțineți 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), unde puteți șterge B și obține fără (B) sin (120º) / 7 = 0, 371, astfel încât B = 21, 79º.

În cele din urmă, ultimul unghi este calculat folosind A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.